Demostrar que las coordenadas de la base es una base de un espacio de la tangente

Question

Dada una variedad diferenciable $M$ y algunas gráfico de $(U, \psi)$ cerca de $p$, se puede considerar que la curva de $\tilde{\beta}_i: t \mapsto \psi(p)+t e_i$ donde $e_i$ denota la norma base en $\mathbb{R}^n$, $i \in \{1, \dots, n\}$. Ahora podemos establecer $\beta_i := \psi^{-1} \circ \tilde{\beta}_i$ para obtener la curva correspondiente en $M$ y podemos definir el correspondiente vector tangente por

$$\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right)_{p,\psi} u := \left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0} u(\beta_i(t))$$

para todos los $u \in C^{\infty}(M)$. Podemos comprobar rápidamente que esto es de hecho bien definidos. Un rápido cálculo también muestra que cualquier combinación lineal de estos vectores todavía se encuentra en $T_pM$ y que abarcan $T_pM$. Para mostrar que forman una base, a la izquierda, para mostrar que ellos son linealmente independientes.

Hemos hecho una prueba en clase, donde en algún momento debo haber cometido un error tipográfico o simplemente no entienden lo que está sucediendo.

Existe una frecuencia de corte de la función $\rho: \mathbb{R}\to\mathbb{R}$, que es suave y satisface $$\rho(x) = \begin{cases}1 & x \in (-\frac{1}{2},\frac{1}{2})\\ 0 & x \in (-\infty, -\frac{3}{4}] \cup [\frac{3}{4},\infty)\end{cases}.$$ Para $j \in \{1,\dots,n\}$ definir $\varphi_j: M \to \mathbb{R}$ por $$\varphi_j(q) := \begin{cases} 0 & q \notin U\\ \left(\prod_{i=1}^n \rho \left(\frac{\psi^i(q)-\psi^i(p)}{\varepsilon}\right)\right)\psi^j(q) & q \in U \end{cases}.$$ A continuación, $\varphi_j \in C^{\infty}(M)$ $$\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right)_{p,\psi} \varphi_j = \delta_{ij},$$ lo cual implica que ellos son linealmente independientes.

Pregunta 1: ¿Qué es $\varepsilon$? En una clase anterior hemos definido la tangente vectores lineal mapas derivadas direccionales, derivadas a lo largo de algunas suave curva de $\gamma: (-\varepsilon,\varepsilon)\to M$$\gamma(0)=p$. Esto no tiene ningún sentido en la prueba, ya que podemos elegir $\varepsilon$ más libremente. Estoy bastante seguro de que este debe ser un error tipográfico, por lo que la pregunta real es: ¿Qué se debe la definición de $\varphi_j$?

Pregunta 2: ¿Qué hace la función de $\varphi_j$ hacer?

Pregunta 3: ¿por Qué $$\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\right)_{p,\psi} \varphi_j = \delta_{ij}$$ implica que la coordenada base de vectores son linealmente independientes?

Answer 1

$\varepsilon$ es un parámetro que se asegura de que $\varphi_j$ es suave. La suavidad de $\varphi_j$ si el factor de la siguiente manera

$$\prod_{i = 1}^n \rho\biggl(\frac{\psi^i(q) - \psi^i(p)}{\varepsilon}\biggr)\tag{1}$$

es distinto de cero sólo en un relativamente compacto subconjunto de la coordenada parche $U$. Por la especificación de $\rho$, factor que se desvanece fuera del subconjunto $V$ de la coordenada parche $U$ correspondiente al cubo con sidelength $\frac{3}{2}\varepsilon$ y el centro de la $\psi(p)$, a condición de que el cubo está contenida en $\psi(U)$. Uno elige un arbitrario $\varepsilon > 0$ de manera tal que el cubo de $\prod \bigl[\psi^i(p)-\frac{3}{4}\varepsilon, \psi^i(p) + \frac{3}{4}\varepsilon\bigr]$ está contenido en $\psi(U)$, entonces la función en $(1)$ tiene soporte compacto en $U$, e $\varphi_j$ es suave en todo el colector.

La función de $\varphi_j$ es una suave extensión de la función de las coordenadas $\psi^j$ a partir de un pequeño barrio - correspondiente a $\prod \bigl( \psi^i(p) - \frac{\varepsilon}{2},\psi^i(p) + \frac{\varepsilon}{2}\bigr)$ - $p$ a todos los de $M$. Ya que al parecer la operación de vectores tangente se define en términos de las funciones lisas y no local, no podemos utilizar directamente la de coordinar las funciones de $\psi^j$, ya que esas no son necesariamente extensible a global de las funciones lisas. Por lo tanto, se multiplica con una frecuencia de corte de la función para obtener una suave extensión de una restricción de $\psi^j$ a un pequeño barrio de $p$.

La relación

$$\biggl(\frac{\partial}{\partial x^i}\biggr)_{p,\psi} \varphi_j = \delta_{ij}\tag{2}$$

implica independencia lineal por la linealidad de la diferenciación en el $\frac{\partial}{\partial x^i}$. Si tenemos una relación lineal

$$\sum_{i = 1}^n c_i \biggl(\frac{\partial}{\partial x^i}\biggr)_{p,\psi} = 0,$$

a continuación, la aplicación de ese vector tangente a $\varphi_j$ rendimientos

$$0 = \Biggl(\sum_{i = 1}^n c_i \biggl(\frac{\partial}{\partial x^i}\biggr)_{p,\psi}\Biggr)\varphi_j = \sum_{i = 1}^n c_i \Biggl(\biggl(\frac{\partial}{\partial x^i}\biggr)_{p,\psi}\varphi_j\Biggl) = \sum_{i = 1}^n c_i \delta_{ij} = c_j.$$

Haciendo que para todos los $1\leqslant j\leqslant n$ muestra todos los coeficientes $c_i$$0$, es decir, la independencia lineal.