Cómo definir la medida de Lebesgue k-dimensional $\lambda^{k,n}$ en $R^n$ cuando $k<n$

Question

René Schilling dice

Lo que puede afirmarse de forma más general:

Sea $B\in\mathfrak{B}(\mathbb{R}^k)$ y que $\Phi: \mathbb{R}^k\to\mathbb{R}^n$ (donde $k\leq n$ ) sea una $C^1$ -mapa para el que existe $Q\subset \mathbb{R}^n$ con $\lambda^{k,n}(Q)=0$ tal que $\Phi(x_1)=\Phi(x_2)\in \Phi(B)\setminus Q\ \Rightarrow\ x_1=x_2$ . Entonces $$\lambda^{k,n}(\Phi(B))=\int_B\sqrt{\det((D\Phi(x))^T D\Phi(x))} \lambda^{k,k}(dx)$$ donde $\lambda^{k,n}$ denota el $k$ -de Lebesgue para subconjuntos de $\mathbb{R}^n$ .

El problema es que no sé cómo la definición de Schilling de $\lambda^k$ debe ampliarse para definir $\lambda^{k,n}$ para implicar el teorema de Jacobi más general.

¿Cómo debe hacerse y/o existen referencias alternativas que traten el problema de forma más general?

Answer 1

Yo recomendaría el libro de Francesco Maggi:
Conjuntos de perímetro finito y problemas variacionales geométricos -
Introducción a la teoría de medidas geométricas

que está increíblemente bien escrito en mi opinión. Lo que has escrito es básicamente el Teorema 8.1 del mismo.