Probar que si $B-A = C-A$ $B=C$

Question

Lo que tengo es este:

si $x∈B\backslash A$

luego por la igualdad de a $C\backslash A$,

$x∈C\backslash A$

por lo $x∈C, x∈B, x\notin A, x∈B\cap C$

esto muestra que:

$B\subseteq C$.

si $x∈C\backslash A$

{repetir de lo que se muestra anteriormente}

$C\subseteq B$.

así pues, si$B\backslash A=C\backslash A$,$B=C$.

No estoy seguro de si es correcto aunque, me siento muy insegura acerca de él.

Answer 1

Lo que estamos tratando de demostrar que es falsa. Por ejemplo supongamos $B\ne C$$A=B\cup C$, luego tenemos a $B\setminus A = \emptyset = C\setminus A$.

El error es que de $x\in B\setminus A$ correctamente a la conclusión de que $x\in C$, pero que sólo prooves que $(B\setminus A)\subseteq C$. Podemos tener $x\in B\cap A$$B$, pero no en $B\setminus A$ - los elementos no necesitan ser en $C$.

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Por otro lado, si se tratara de la diferencia simétrica (el conjunto de elementos que, precisamente, uno de los conjuntos): $B\triangle A=C\triangle A$ implicaría que $B=C$. Usted puede probar esto por el cambio en los casos de $x\in A$ $x\notin A$ respectivamente.

Answer 2

Usted necesita algunas otras hipótesis, como la $A \subset C,B$. En este caso, vamos a $x \in C$.

sugerencia: hay dos casos.

Caso 1: $x \in A$

Caso 2: $x \in C-A$.

Ambos siguen inmediatamente.