¿Se puede encontrar un conjunto de cuatro enteros positivos en el que el producto de dos enteros distintos cualesquiera sea un cuadrado perfecto más uno?

Question

Este post está motivado por un famoso problema de la OMI . Implica $\{2,5,13,x\}$ ( $x$ denota un número entero positivo) no es un conjunto que tenga esta propiedad. Me pregunto si realmente existe un conjunto $\{a,b,c,d\}$ (cada elemento es un número entero positivo) tal que $ab-1$ , $ac-1$ , $ad-1$ , $bc-1$ , $bd-1$ , $cd-1$ son todos cuadrados perfectos. ¿Podría ayudarme?

Answer 1

Parece que la tarea puede ser imposible con cuatro números. Compara el teorema de que no puede haber cuatro cuadrados en progresión aritmética. Triples con el mayor número hasta 100:

    2    5   13
    2   13   25
    5   10   29
    5   13   34
    2   25   41
   10   17   53
    5   29   58
    2   41   61
    5   34   65
   10   29   73
   13   25   74
   17   26   85
    2   61   85
   13   34   89
    5   58   97

Answer 2

Lo último que supe es que este problema sigue abierto, aunque se sabe que hay como mucho un número finito de tales $4$ -(lo que reduce el problema a un cálculo enorme pero finito), y no hay ninguna $5$ -tuplas con esta propiedad.

He aquí un documento reciente sobre el tema: https://www.math.tugraz.at/~elsholtz/WWW/papers/elsholtz-filipin-fujitaNumDQIIIv19.pdf

Un problema relacionado bien estudiado es el de las tuplas diofantinas, donde es $ab+1$ en lugar de $ab-1$ es un cuadrado. En ese caso hay una construcción sencilla que proporciona infinitas $4$ -pero a lo sumo finitamente muchas $5$ -tuplas sin ejemplos conocidos.

Actualización: parece que hay un artículo que reduce el límite superior para Diofantino $5$ -lo suficiente como para establecer finalmente la inexistencia: https://arxiv.org/abs/1610.04020

Answer 3

Es mejor utilizar un enfoque más general. Escribimos el sistema.

$$\left\{\begin{aligned}&xy+T=a^2\\&xz+T=b^2\\&xq+T=c^2\\&yz+T=d^2\\&yq+T=k^2\\&zq+T=n^2\end{aligned}\right.$$

Si el número $T$ en los multiplicadores. Encontramos entonces los ajustes deseados.

$$T=3(p-t-s)(p+t-s)(p+s)^2$$

Entonces la solución se puede escribir como.

$$x=t^2+2s^2+2ps-p^2$$

$$y=t^2-s^2+2ps+2p^2$$

$$z=4t^2-(p-s)^2$$

$$q=3(p+s)^2$$

$$a=p^2+ps+s^2-t^2$$

$$b=2t^2+s^2+ps-2p^2$$

$$c=3(p+s)s$$

$$d=2t^2-2s^2+ps+p^2$$

$$k=3(p+s)p$$

$$n=3(p+s)t$$

En los números racionales hay una solución.