la ecuación diferencial de una función armónica

Question

Deje $v$ ser un suave armónico de la función en $R^n$. Si $r^2=\sum_{i=1}^{n}|x_i|^2$ donde $x=(x_1,x_2,....x_n) \in R^n$ e si $v$ es una radial de la función del yo.e $v(x)=v(r)$, escribir la ecuación diferencial satisfecho por $v$.

Answer 1

Wealll,

vamos a permanecer lejos de la mala punto de $r = 0$, es decir, de $(0, 0, . . . , 0)$, y a ver lo que tenemos:

en primer lugar, $v$ armónico significa que $v$ satisface

$\sum_1^n \dfrac{\partial^2 v}{\partial x_i^2} = 0, \tag{1}$

así que acaba de iniciar la molienda, usando$v = v(r)$$r = \sqrt{\sum_1^n x_i^2} = (\sum_1^n x_i^2)^{1/2}$:

$\dfrac{\partial v}{\partial x_i} = \dfrac{\partial v}{\partial r} \dfrac{\partial r}{\partial x_i}, \tag{3}$

y

$\dfrac{\partial r}{\partial x_i} = \dfrac{\partial (\sum_1^n x_i^2)^{1/2}}{\partial x_i} = \dfrac{1}{2}(\sum_1^n x_i^2)^{-1/2}(2x_i) = \dfrac{x_i}{r}, \tag{4}$

así

$\dfrac{\partial v}{\partial x_i} = \dfrac{\partial v}{\partial r} \dfrac{x_i}{r}; \tag{5}$

mantener molienda! Por lo tanto:

$\dfrac{\partial^2 v}{\partial x_i^2} = \dfrac{\partial}{\partial x_i}(\dfrac{\partial v}{\partial x_i}) = \dfrac{\partial}{\partial x_i}(\dfrac{\partial v}{\partial r} \dfrac{x_i}{r}) = \dfrac{\partial}{\partial x_i}(\dfrac{\partial v}{\partial r})(\dfrac{x_i}{r}) + (\dfrac{\partial v}{\partial r})\dfrac{\partial}{\partial x_i}(\dfrac{x_i}{r}); \tag{6}$

y por lo tanto:

$\dfrac{\partial}{\partial x_i}(\dfrac{\partial v}{\partial r}) = \dfrac{\partial^2v}{\partial^2 r}\dfrac{\partial r}{\partial x_i} = \dfrac{\partial^2v}{\partial^2 r}(\dfrac{x_i}{r}), \tag{7}$

de manera paralela a (3), de nuevo con (4), y por lo tanto:

$\dfrac{\partial}{\partial x_i}(\dfrac{x_i}{r}) = \dfrac{1}{r} + x_i \dfrac{\partial r^{-1}}{\partial x_i} = \dfrac{1}{r} - x_i r^{-2} \dfrac{\partial r}{\partial x_i} = \dfrac{1}{r} - \dfrac{x_i^2}{r^{3}}, \tag{8}$

donde (4) se ha utilizado otra vez. Usando (7) y (8), (6) los rendimientos

$\dfrac{\partial^2 v}{\partial x_i^2} = \dfrac{\partial^2v}{\partial^2 r}(\dfrac{x_i}{r})^2 + \dfrac{\partial v}{\partial r}(\dfrac{1}{r} - \dfrac{x_i^2}{r^{3}}), \tag{9}$

y así

$\sum_1^n \dfrac{\partial^2 v}{\partial x_i^2} = \sum_1^n (\dfrac{\partial^2v}{\partial^2 r}(\dfrac{x_i}{r})^2 + \dfrac{\partial v}{\partial r}(\dfrac{1}{r} - \dfrac{x_i^2}{r^{3}})) = \dfrac{\partial^2v}{\partial^2 r} \sum_1^n (\dfrac{x_i}{r})^2 + \dfrac{\partial v}{\partial r} \sum_1^n (\dfrac{1}{r} - \dfrac{x_i^2}{r^{3}}). \tag{10}$

Es fácil ver que

$\sum_1^n (\dfrac{x_i}{r})^2 = 1 \tag{11}$

y esto implica

$\sum_1^n (\dfrac{1}{r} - \dfrac{x_i^2}{r^{3}})= \dfrac{1}{r}\sum_1^n(1 - \dfrac{x_i^2}{r^{2}}) = \dfrac{n - 1}{r}; \tag{12}$

tirando juntos (1), (10), (11), y (12) por fin llegamos a

$\dfrac{\partial^2v}{\partial^2 r} + \dfrac{n - 1}{r}\dfrac{\partial v}{\partial r} = 0, \tag{13}$

de acuerdo con la expresión dada en esta página de la Wikipedia.

Espero que esto ayude! ¡Hasta la vista,

y como siempre,

Fiat Lux!!!