Máximo absoluto valor de $\sin^2(x)-\sin(x)$ $[0,\frac{3\pi}{2}]$

Question

Yo pensaba que no tiene máximo absoluto, pero quería comprobar y ver por qué

Answer 1

Una función continua en un intervalo cerrado siempre tiene un máximo absoluto y un absoluto min. Y, la absoluta max y min sólo puede ocurrir en puntos críticos o los puntos extremos del intervalo (sé de al menos un libro que incluye los puntos finales como puntos críticos). Por lo tanto, la estrategia que el cálculo de los libros de dar es encontrar los puntos críticos (en un intervalo) y enchufe de estos, y en los puntos finales, en el original. El valor más alto que se obtiene es el máximo absoluto y el menor valor que se obtiene es de su absoluta min (y se obtiene el $x$ valores donde la absoluta max y min se producen, como la $x$ enchufado). Desde que se deben producir, y ya que estas son las únicas posibles lugares donde puede ocurrir, esto garantiza que vamos a encontrar la absoluta max y min, si hacemos esto.

Si $f(x) = \sin^2 x - \sin x$,$f'(x) = 2\sin x \cos x - \cos x = \cos x(2\sin x - 1)$. Este es siempre definida por lo que la única crítica de los puntos se donde esta es de 0. Un producto es 0 exactamente cuando una de las dos partes es 0, lo que es 0 cuando $\cos x = 0$ o al $\sin x = \frac{1}{2}$. En $\left[0, \frac{3\pi}{2} \right]$, las soluciones serían: $\cos x = 0$ cuando $x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$, $\sin x = \frac{1}{2}$ al$x = \frac{\pi}{6}$$x = 5\pi / 6$.

Ahora, conectar todos estos valores, y los puntos finales se obtiene:

$\begin{align*} f(0) &= 0 \\ f(\pi/6) &= - \frac{1}{4} \\ f(\pi/2) &= 0 \\ f(5\pi/6) &= - \frac{1}{4} \\ f(3\pi/2) &= 2 \end{align*}$

Por lo tanto, el máximo es de 2 a $3\pi/2$ y el min es $-\frac{1}{4}$ tanto $\pi/6$$5\pi/6$.

Answer 2

Estamos interesados en $w^2-w$, con la salvedad de que $-1\le w\le 1$. Completando el cuadrado, nos encontramos con que $4w^2-4w=(2w-1)^2+3$. De modo que el valor mínimo de $4w^2-4w$$3$, alcanzado al $w=1/2$. El máximo de valor en la que se alcanza el intervalo al $w$ es tan negativo como sea posible, es decir, en $w=-1$.

De modo que el valor mínimo de $w^2-w$$\frac{3}{4}$, alcanzado al $\sin x=\frac{1}{2}$, que es, a $x=\frac{\pi}{6}$, y también en la $x=\pi-\frac{\pi}{6}$.

El valor máximo de $w^2-w$$\frac{12}{4}$, alcanzado al $\sin x=-1$, que es, a $x=\frac{3\pi}{2}$.

Nota: Usted estuvo cerca de ser a la derecha en absoluto máximo. Si vamos a reemplazar el intervalo de $[0,\frac{3\pi}{2}]$$(0,\frac{3\pi}{2})$, ya no hay un máximo absoluto.