La cardinalidad de un conjunto de secuencias naturales

Question

Deje $a=(a_n)_{n\ge 1}$ una secuencia tal que para cada a $n\ge 1$ tenemos:

a) $a_n \in\mathbb{N}$

b) $a_n\lt a_{n+1}$

c) Existe $\displaystyle\lim_{n\to \infty} \frac{\#\{j\mid a_j\le n\}}{n}$

Deje $A$ el conjunto de las secuencias que cumplan con las condiciones antes mencionadas. Que es el cardenal de $A$?

No tengo ni idea, yo no sabe cómo interpretar la última condición. Cualquier sugerencia?

Answer 1

Es incontable. Tomar cualquier número real entre 0 y 1 y hacer una secuencia de su tipo fuera de la decimal como en:

$$\alpha = .912092013.... \;\;\;a_1 = 9 \;a_2=91\;\;a_3=912\;\;a_4 =9120$$ Y así sucesivamente. Claramente en aumento y sólo hay un $a_i$ entre cualquiera de dos días consecutivos de potencias de 10.

(en caso de ambigüedad para la terminación de los racionales, el uso de la expansión que termina con una cadena de $0$'s)