Verifica mi solución para $x^2 + x + 1 > 0$

Question

Ayer pasé una hora aproximadamente intentando resolver la desigualdad $x^2 + x + 1 > 0$. Como había pasado tanto tiempo en un problema que no parecía ser tan difícil, decidí dejarlo por ese día y volver a intentarlo más tarde.

Acabo de echarle otro vistazo y esta solución se volvió inmediatamente obvia:

$$x^2 + x + 1 > 0 \ \ \forall \ \ x \in \mathbb{R}$$

Justificaría esto afirmando que $x^2 > x \ \ \forall \ \ x \in \mathbb{R}$. Debido a esto, incluso si $x < 0$, el lado derecho de la desigualdad siempre será positivo. ¿Estoy en lo correcto?

Answer 1

Pista $\rm\ \ 4\:f(x)\: =\: 4\:(x^2+x+1)\ =\ (2x+1)^2 + 3\: \ge\: 3\ $ así que $\rm\:f(x)\ge 3/4$

Más generalmente, uno puede decidir ecuaciones polinómicas (des)igualdades mediante la partición de la recta real en intervalos basados en el número finito de raíces, y probando en cada intervalo. Aquí no hay raíces reales, así que tiene signo constante, por lo que tiene el signo de $\rm\:f(0) = 1.\:$

Este es un caso especial del algoritmo de la descomposición algebraica cilíndrica de Collins, una forma efectiva de eliminación de cuantificadores Tarski-Seidenberg para los reales. Para generalizaciones profundas, busca en "geometría semialgebraica" y "o-mínimo".

Answer 2

$$x^2 + x + 1 > 0 \Leftrightarrow x^2 + x + \frac{1}{4} > -1 + \frac{1}{4} \Leftrightarrow (x+\frac{1}{2})^2 > -\frac{3}{4} $$ Y obtenemos el resultado deseado por la positividad del cuadrado. (es decir, $\forall x \in \mathbb{R}: x^2 \geq 0$)

Answer 3

Primero mostraré que con pequeñas modificaciones, tu enfoque puede funcionar. (Sin embargo, es más simple usar uno de los métodos en otras respuestas). Al final, sugiero un enfoque adicional simple.

Está claro que $x^2+x+1 \ge 1$ si $x \ge 0$. Solo hay problemas potenciales cuando $x<0$, así que supongamos que $x<0. Dado que es muy fácil cometer errores al manejar números negativos, sea $w=-x$. Entonces $x^2+x+1=w^2-w+1$ y $w$ es positivo.

Si $w \ge 1$ (es decir, si $x \le -1$), entonces $w^2 \ge w$, por lo que $w^2 -w+1\ge 0. (Aquí se utilizó el método que propusiste).

Ese método no funciona cuando $00$ y $w<1$, por lo que $w^2-w>-1, y por lo tanto $w^2-w+1>0.

Otra manera: Nota que $(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1$ y que $x-1$ y $x^3-1$ son positivos si y solo si $x>1$, y son negativos si y solo si $x<1.

Si $x>1$, entonces $x-1$ y $x^3-1$ son ambos positivos, por lo que la razón $\frac{x^3-1}{x-1}$, es decir, $x^2+x+1$, es positiva.

Si $x-1$ y $x^3-1$ son ambos negativos, entonces nuevamente su razón $x^2+x+1$ es positiva.

Y finalmente si $x=1$, entonces $x^2+x+1$ es positivo.

Nota que de la misma manera, podemos demostrar que $x^n+x^{n-1}+\cdots +x+1$ siempre es positivo si $n$ es par.

Answer 4

También está esta respuesta (pero no estoy seguro si califica como una prueba):

Este es un gráfico de $y=x^2+x+1$, nota que nunca toca el eje $x.

Answer 5

Llevo x y 1 al otro lado para cambiar el problema a $x^2 > -1 - x$.

Nota que $x^2$ siempre es positivo para $x$ real, por lo tanto, la igualdad solo puede ser falsa cuando $x < -1$.

Pero, si $x < -1$, $x^2$ sigue siendo positivo, al igual que $-x$. Por lo tanto, necesitamos demostrar que cuando $x > 1$, entonces se cumple $x^2 > x - 1$. Pero como $x^2 > x$ cuando $x > 1, esto se cumple.