Comprendiendo el ideal generado por un polinomio

Question

Recientemente comencé mi clase sobre teoría de anillos, y estoy teniendo un poco de dificultad para entender los ideales generados por polinomios. Para un anillo arbitrario, conozco la definición de tal ideal, es decir, para $R$ un anillo y $a \in R$, $(a) = \{ \sum_{i=1}^{n} r_ias_i \mid r_i,s_i \in R \}$. Entonces, ¿este conjunto es esencialmente todas las posibles sumas de diferentes combinaciones de $r_ias_i$? ¿Por ejemplo, para $n=1$, $r_1as_1 \in (a)$, ¿donde $r_1,s_1$ simplemente "recorren" todos los elementos en $R$?

En concreto, tuve un problema previo en la tarea que concierne al siguiente anillo de polinomios: $R = [\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}](t)$. Sé lo que esto significa como conjunto, pero tuve dificultades para entender este ideal: $f = f(t) = t^2 + t + 1 \in R$ y el ideal siendo $(f)$. La pregunta era acerca de $R/(f)$, que sé que es el conjunto $\{r + (f) \mid r \in R \}$, pero ni siquiera supe por dónde empezar debido a mi falta de comprensión de $(f)$. Cualquier ayuda en la comprensión sería bienvenida

Answer 1

En pocas palabras,

En cualquier anillo $R$ (¡con unidad!), el ideal principal $(a)$ generado por $a\in R$ consiste únicamente de los múltiplos de $a$.

Aquí doy solo un enfoque heurístico:

Me gusta pensar en el anillo cociente $R/(a)$ como teniendo los mismos elementos de $R$ pero la igualdad se modifica de modo que todos los elementos de $(a)$ sean iguales a cero en el cociente. Observa que es suficiente requerir que $a=0$, porque $ras=0$ y $\sum r_ias_i=0$ ya se sigue de las propiedades de igualdad.

En el caso del anillo de polinomios, un factor como $R[t]/(f)$ con, digamos $f=t^n-a_{n-1}t^{n-1}-\dots-a_1t-a_0$ siempre se representará por el conjunto de polinomios de grado $en el anillo cociente tenemos $$t^n=a_{n-1}t^{n-1}+\dots+a_1t+a_0$$ Entonces, cada vez que aparezca un $t^n$, puede ser reemplazado por un polinomio de grado $

Answer 2

Cuando el anillo es conmutativo, como en tu caso, las cosas son mucho más simples y fáciles:

$$\forall\,a\in R\;,\;\;(a):=\{ra\;;\;r\in R\}$$

Y así, en tu caso muy particular, el ideal generado por un polinomio $\;f(x)\in R[x]\;$ es simplemente el conjunto de todos los productos de $\;f\;$ por elementos de $\;R[x]\;$.

Answer 3

Un ideal bilateral $I$ de un anillo $R$ es naturalmente el núcleo del homomorfismo sobreyectivo $$ R \twoheadrightarrow R/I. $$

Toma el ejemplo, donde $R = \Bbb{Z}/2\Bbb{Z}[t]$ e $I = (f) = (t^2 + t + 1)$. En el cociente (la imagen del mapa), el polinomio $f$ se identifica con $0$. Pero si $f = 0$, entonces $af = a0 = 0$ y $fb = 0b = 0$ para cualquier $a, b \in R$. El hecho de que el ideal debe estar cerrado bajo la multiplicación por cualquier elemento en el anillo en ambos lados es algo impuesto por el deseo de que el ideal sea un núcleo.

Dado que $t^2 + t + 1 = 0$ en $R/I$, cada vez que veas $t^2$, puedes reemplazarlo por $-(t + 1)$ o simplemente $t + 1$, ya que el campo base es $\Bbb{Z}/2\Bbb{Z}$.

Intenta calcular la suma $(at + b) + (ct + d)$ y el producto $(at + b)(ct + d)$ de dos elementos genéricos en $R/I$ para tener una idea de la estructura de este anillo. Consejo: no es muy grande.