Múltiples diferenciables como espacios localmente anillados

Question

Dejemos que $X$ sea una variedad diferenciable. Sea $\mathcal{O}_X$ sea la gavilla de $\mathcal{C}^\infty$ funciones en $X$ . Como cada tallo de $\mathcal{O}_X$ es un anillo local, $(X, \mathcal{O}_X)$ es un espacio localmente anillado. Sea $Y$ sea otra variedad diferenciable. Sea $f\colon X \rightarrow Y$ sea un mapa diferenciable. Sea $U$ sea un subconjunto abierto de $Y$ . Para $h \in \Gamma(\mathcal{O}_Y, U)$ , $h\circ f \in \Gamma(\mathcal{O}_X, f^{-1}(U))$ . Por lo tanto, obtenemos un $\mathbb{R}$ -morfismo $\Gamma(\mathcal{O}_Y, U) \rightarrow \Gamma(\mathcal{O}_X, f^{-1}(U))$ de $\mathbb{R}$ -de las álgebras. Por lo tanto, obtenemos un morfismo $f^{\#} \colon \mathcal{O}_Y \rightarrow f_*(\mathcal{O}_X)$ de gavillas de $\mathbb{R}$ -algebras. Es fácil ver que $(f, f^{\#})$ es un morfismo de espacios localmente anillados.

A la inversa, supongamos que $(f, \psi)\colon X \rightarrow Y$ es un morfismo de espacios localmente anillados, donde $X$ y $Y$ son variedades diferenciables y $\psi\colon \mathcal{O}_Y \rightarrow f_*(\mathcal{O}_X)$ es un morfismo de gavillas de $\mathbb{R}$ -algebras. Es $f$ un mapa diferenciable y $\psi = f^{\#}$ ?

Answer 1

Sí: Deja que $(f,\psi):X\to Y$ sea un morfismo de espacios localmente anillados, donde $X$ y $Y$ son variedades suaves con sus gavillas de funciones suaves. Si $\psi:C^\infty_Y \to f_* C^\infty_X$ es un morfismo de gavillas de $\mathbb R$ -entonces $f$ es suave y $\psi=f^\#$ .

Prueba. Dejemos que $s:U\to \mathbb R$ sea una función suave. La ecuación $\psi s= s\circ f$ se deduce de la conmutatividad del diagrama siguiente. Obsérvese que el triángulo es conmutativo porque hay un único $\mathbb R$ -mapa de álgebra $C^\infty_{f(x)}/{\frak m}_{f(x)}\cong \mathbb R \to \mathbb R$ . Ahora se deduce que $f:X\to Y$ es suave. De hecho, sabemos que $s\circ f$ es suave para todas las funciones de valor real $s$ en $Y$ y podemos tomar $s$ para ser las funciones de coordenadas de los gráficos en $Y$ . QED.