¿Por qué no se cumple el teorema del intervalo anidado para los intervalos abiertos?

Question

¿Por qué es necesaria la condición de que los intervalos sean cerrados? ¿Podría alguien darme un ejemplo de una secuencia de intervalos no vacíos, acotados y anidados cuya intersección sea vacía? No se me ocurre ninguno, así que ¿por qué lo requiere el teorema?

Este es el teorema:

Si $I_1 \supset I_2 \supset I_3 \supset \dots$ es una secuencia de intervalos anidados, cerrados, acotados y no vacíos, entonces $\bigcap_{n=1}^{\infty}I_n$ es no vacía. Si, además, la longitud de $I_n$ se acerca a cero, entonces $\bigcap_{n=1}^{\infty}I_n$ consiste en un solo punto.

Mis disculpas si esto se ha preguntado antes pero no lo he encontrado.

Answer 1

Considere la familia $A_n = (0, \frac{1}{n})$ . Tenemos $A_{n+1} \subset A_n$ por cada $n \in \mathbb{N}$ y la longitud de $A_n$ se aproxima a cero a medida que $n$ se acerca al infinito, pero $\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n$ está vacía. Para ver esto, observe que cualquier elemento de la intersección sería mayor que cero, pero menor que $\frac{1}{n}$ por cada $n \in \mathbb{N}$ por la propiedad arquimediana de los números reales, no existe tal elemento.