Creo que debería ser posible probar una afirmación aún más fuerte que la que se afirma en la pregunta. Supongamos que, en lugar de asumir que $ \sum_j a_j { \rm \ Ind}_{ \gamma } (z_j) = 0$ para todos los bucles cerrados $ \gamma \subset G$ simplemente asumimos que $$ \sum_j a_j { \rm \ Ind}_{ \gamma } (z_j) \in \mathbb Z$$
para todos los bucles cerrados $ \gamma \subset G$ . Con esta suposición más débil, creo que todavía debería ser posible probar que $ \prod_ {j = 1}^m (z - z_j)^{a_j}$ tiene una rama holomórfica en $G$ .
Antes de empezar a abordar esta cuestión, probaremos algunos lemas útiles.
Lema 1: Supongamos que $f$ es una función holomórfica en un conjunto abierto $U$ de tal manera que $ \oint_\gamma f(z')dz' = 0$ para todos los contornos cerrados $ \gamma \subset U$ . Entonces la función $$F(z) = \int_ { \gamma_ {c \to z}} f(z') dz'$$
está bien definido y es holomórfico en $U$ con el derivado $F'(z) = f(z)$ . (Aquí, $c$ es un punto fijo arbitrario en $U$ y por cada $z \in U$ , $ \gamma_ {c \to z }$ denota cualquier camino desde $c$ a $z$ en $U$ la parte "bien definida" de la declaración es que el valor de la integral en esta definición no depende de la elección del camino $ \gamma_ {c \to z}$ siempre y cuando este camino esté contenido en $U$ .)
Prueba: La buena definición se desprende inmediatamente del hecho de que la diferencia entre dos caminos $c \to z$ es un contorno cerrado, en el que la integral se desvanece. Para la holomorfía, elija cualquier $w \in U$ y elegir cualquier pelota abierta $U_w \subset U$ de $w$ . En esta bola abierta, podemos escribir $$ F(z) = \int_ {[w \to z]} f(z') dz' + F(w)$$ donde $[w \to z]$ denota el segmento de línea recta de $w$ a $z$ . Por lo tanto, para cualquier $z \in U_w \setminus \{ w \}$ , $$ \frac {F(z) - F(w)}{z - w} - f(w) = \frac {1}{z - w} \int_ {[w \to z]} \left ( f(z') - f(w) \right ) dz' $$ que tiende a cero como $z$ tiende a $w$ por la continuidad de $f(z')$ en $w$ .
Lemma 1a: Supongamos que $f$ es una función holomórfica en un conjunto abierto $U$ de tal manera que $ \oint_\gamma f(z') dz' \in 2 \pi i \mathbb Z$ para todos los contornos cerrados $ \gamma \subset U$ . Entonces la función $$ g(z) = \exp\left ( \int_ { \gamma_ {c \to z} }f(z') dz' \right )$$ está bien definido y es holomórfico en $U$ . (De nuevo, por cada $z \in U$ , $ \gamma_ {c \to z}$ denota cualquier camino desde $c$ a $z$ que está contenida en $U$ .)
Prueba: La buena definición se deriva del hecho de que si $ \gamma_ {c \to z}$ y $ \gamma '_{c \to z}$ son dos caminos desde $c$ a $z$ contenida en el interior $U$ Entonces $$ \exp \left ( \oint_ { \gamma '_{c \to z}} f(z') dz' \right ) = \exp \left ( \oint_ { \gamma_ {c \to z}} f(z') dz' + 2 \pi i n \right ) = \exp \left ( \oint_ { \gamma_ {c \to z}} f(z') dz' \right ). $$ Para probar la holomorfía, elija cualquier $w \in U$ y elegir una bola abierta $U_w \subset U$ de $w$ . Arreglar cualquier camino $ \gamma_ {c \to w}$ y considerar la función $F : U_w \to \mathbb C$ definido por $$ F(z) = \int_ { \gamma_ {w \to z}} f(z') dz' + k_c,$$ donde $k_c = \int_ { \gamma_ {c \to w}} f(z') dz'$ con $ \gamma_ {c \to w}$ siendo nuestro camino fijo elegido, y donde $ \gamma_ {w \to z}$ denota cualquier camino desde $w$ a $z$ dentro de $U_w$ . $F(z)$ está bien definido y es holomórfico en la bola abierta $U_w$ en virtud de Lemma 1, ya que para cualquier bucle cerrado $ \gamma \subset U_w$ Tenemos $ \oint_\gamma f(z') dz' = 0$ porque la bola abierta $U_w$ está simplemente conectado. Desde $g(z) = \exp (F(z))$ en $U_w$ se deduce que $g(z)$ también es holomórfico en $U_w$ . Como nuestra elección de $w$ fue arbitraria, esto prueba que $g(z)$ es holomórfico en todas partes en $U$ .
Lema 2 : Para cualquier $z_0 \in \mathbb C$ y para cualquier camino $ \gamma_ {a \to b} \subset \mathbb C \setminus \{ z_0 \}$ de $a$ a $b$ Tenemos $$ \exp\left ( \int _{ \gamma_ {a \to b}} \frac {1}{z' - z_0} dz' \right ) = \frac {b - z_0}{a - z_0}.$$
[Realmente, este lema está diciendo que $ \int _{ \gamma_ {a \to b}} \frac {1}{z' - z_0} dz' = \log (b - z_0) - \log (a - z_0)$ . Pero he evitado deliberadamente escribirlo de esta manera para no tener que preocuparnos por las ambigüedades en la definición de los logaritmos].
Prueba: Primero probamos esta declaración para el caso especial en el que $ \gamma_ {a \to b}$ está contenida dentro de algún subconjunto simplemente conectado $U$ de $ \mathbb C \setminus \{ z_0 \}$ . En este caso especial, Lemma 1 nos dice que la función $$ F(z) = \int_ { \gamma_ {a \to z}} \frac {1}{z' - z_0} dz'$$ está bien definido en $U$ (es decir, la integral en esta definición no depende de la elección del camino $ \gamma_ {a \to z}$ de $a$ a $z$ siempre y cuando este camino $ \gamma_ {a \to z}$ está contenida dentro de nuestro vecindario abierto simplemente conectado $U$ ). Lemma 1 también nos dice que $$F'(z) = \frac {1}{z - z_0}.$$ Por la regla de producto para la diferenciación, tenemos $$ \frac {d}{dz} \left ( \frac { \exp (F(z))}{z - z_0} \right ) = 0$$ en $U$ . Por lo tanto, $ \exp (F(z))$ es un constante múltiplo de $z - z_0$ . Podemos identificar el valor de la constante como $1/(a - z_0)$ del hecho de que $ \exp (F(a)) = 1$ . Así $$ \exp (F(z)) = \frac {z - z_0}{a - z_0}$$ para todos $z \in U$ y el resultado sigue tomando $z = b$ .
Para el caso general, cubrimos $ \mathbb C \setminus \{ z_0 \}$ con los dos conjuntos abiertos simplemente conectados $$U = \mathbb C \setminus [z_0 - \infty , z_0], \ \ \ \ \ V = \mathbb C \setminus [z_0, z_0 + \infty ],$$ donde $[z_0 - \infty , z_0]$ (resp. $[z_0, z_0 + \infty ]$ ) denotan las medias líneas horizontales rectas que apuntan a la izquierda (o a la derecha) y que se originan en $z_0$ . Cualquier camino $ \gamma_ {a \to b} \subset \mathbb C \setminus \{ z_0 \} $ puede ser dividido en muchos segmentos finos, $$ \gamma_ {a \to c_1}, \ \gamma_ {c_1 \to c_2}, \ \dots , \ \gamma_ {c_{n-1} \to b},$$ donde cada segmento $ \gamma_ {c_{i} \to c_{i+1}}$ está o bien totalmente contenida en $U$ o está totalmente contenida en $V$ . (El hecho de que podamos encontrar finamente muchos de esos segmentos es una consecuencia de $ \gamma_ {a \to b}$ siendo compacta.) Por el caso especial, tenemos $$ \exp \left ( \int_ { \gamma_ {c_i \to c_{i+1}}} \frac {1}{z' - z_0}dz' \right ) = \frac {c_{i+1} - z_0}{c_i - z_0},$$ para cada segmento $ \gamma_ {c_i \to c_{i+1}}$ y por lo tanto $$ \exp \left ( \int_ { \gamma_ {a, b}} \frac {1}{z' - z_0}dz' \right ) = \frac {c_1 - z_0}{a - z_0}. \frac {c_2 - z_0}{c_1 - z_0}. \dots . \frac {b - z_0}{c_{n-1} - z_0} = \frac {b - z_0}{a - z_0} $$
Prueba del resultado principal: Por definición, $$ \prod_ {j=1}^m (z - z_j)^{a_j} = \exp \left ( \sum_ {j=1}^m a_j \log (z - z_j) \right ). $$ Así que para probar que $ \prod_ {j=1}^m (z - z_j)^{a_j}$ tiene una rama holomórfica en nuestro conjunto abierto $G \subset \mathbb C \setminus \{ z_1, \dots , z_n \}$ debemos probar que existe un función holomórfica $g(z)$ definido en el conjunto de $G$ de tal manera que para cualquier $w \in G$ existe un barrio abierto $U_w \subset G$ y las funciones holomórficas $u_{w, j}(z)$ definido en $U_w$ (para $j \in \{ 1, \dots m \}$ ) de tal manera que $$ g(z) = \exp \left ( \sum_ {j=1}^m a_j u_{w, j}(z) \right ) $$ para todos $z \in U_w$ y tal que $$ \exp (u_{w,j}(z)) = z - z_j$$ para todos $z \in U_w$ y para todos $j \in \{1, \dots m \}$ .
[Efectivamente, la función $u_{w,j}(z)$ es un representante local de $ \log (z - z_j)$ en el vecindario $U_w$ de $w$ .]
Para construir tal $g(z)$ observamos que para cualquier contorno cerrado $ \gamma \subset G$ Tenemos $$ \oint_\gamma \sum_ {j=1}^m \frac {a_j}{z' - z_j} dz' = 2 \pi i \sum_ {j=1}^m a_j { \rm \ Ind}_{ \gamma }(z_j) \in 2 \pi i \mathbb N.$$ Esta observación nos permite definir la función $g : G \to \mathbb C$ usando la expresión, $$ g(z) = \exp \left ( \int_ { \gamma_ {c \to z}} \sum_ {j=1}^m \frac {a_j}{z' - z_j} dz' + \sum_ {j = 1}^m a_j k_{c,j} \right ).$$
Aquí, $c$ es algún punto fijo arbitrario en $G$ y para cada uno $j$ , $k_{c,j}$ es una constante tal que $$ \exp (k_{c, j}) = c - z_j.$$ Mientras tanto, $ \gamma_ {c \to z}$ denota cualquier camino en $G$ de $c $ a $z$ . Por Lemma 1a, la integral en esta definición sólo depende de la elección de $ \gamma_ {c \to z}$ hasta los cambios aditivos de $2 \pi i$ asegurándose de que $g(z)$ está bien definido en $G$ . El lema 1a también nos dice que la función $g(z)$ definido de esta manera es holomórfico en $G$ .
Ahora elige cualquier $w \in G$ y elegir un camino $ \gamma_ {c \to w} \subset G$ de $c$ a $w$ . Deje que $U_w$ ser una bola abierta alrededor $w$ . Porque $U_w$ está simplemente conectado, tenemos $$ \oint_\gamma \frac {1}{z' - z_j} dz'= 0$$ para todos $j$ y para todos los contornos cerrados $ \gamma \in U_w$ . Así que tiene sentido definir funciones $u_{w, j} : U_w \to \mathbb C$ usando la expresión, $$ u_{w, j} (z) = \int_ { \gamma_ {w \to z}} \frac {1}{z' - z_j} dz' + k_{w, j}.$$ Aquí, las constantes $k_{w, j}$ se definen por la fórmula $$ k_{w, j} = k_{c, j} + \int_ { \gamma_ {c \to w}} \frac {1}{z' - z_j} dz', $$ donde $ \gamma_ {c \to w}$ es el camino en $G$ de $c$ a $w$ que hemos arreglado. Mientras tanto, en la definición de $u_{w,j}(z)$ , $ \gamma_ {w \to z}$ denota cualquier camino en $U_w$ de $w$ a $z$ Lema 1 asegura que la integral en la definición no depende de la elección precisa del camino, y que la función $u_{w, j}(z)$ definido de esta manera es holomórfico en $U_w$ .
De las definiciones se desprende claramente que
$$ g(z) = \exp \left ( \sum_ {j = 1}^m a_j u_{w, j}(z) \right )$$
para todos $z \in U_w$ . Aplicando el lema 2 a la definición de $k_{w, j}$ da $$ \exp (k_{w, j}) = w - z_j$$ para cada uno $j$ y aplicando Lemma 2 una vez más, esta vez a la definición de $u_{w,j}(z)$ aprendemos que
$$ \exp (u_{w, j}(z)) = z - z_j$$ para todos $z \in U_w$ y para todos $j$ . Así que $g(z)$ y el $u_{w, j}(z)$ obedece a todas las propiedades deseadas en $U_w$ . Desde la elección de $w$ fue arbitraria, la prueba está completa.
