¿Función entera con derivadas que desaparecen?

Question

Dejemos que $f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ sea una función completa. Y asumir que en cada punto, una de sus derivadas desaparece.

¿Qué puede decir sobre $f$ ?

Una pista sugiere que $f$ debe ser un polinomio.

Answer 1

Dejemos que $A_n$ sea el conjunto de puntos donde $f^{(n)}(z)$ desaparece. Cada $A_n$ está cerrado. Por el teorema de la categoría de Baire uno de esos conjuntos debe tener un interior no vacío, lo que a su vez implica que alguna derivada desaparece en una bola abierta. Por tanto, es idénticamente cero y $f$ es un polinomio.

Answer 2

Dejemos que $n: [0,1] \to \{0,1,... \}$ se defina de forma que $n(x)$ es el más pequeño $k \ge 0$ tal que $f^{(k)}(x) = 0$ .

Desde $[0,1]$ es incontable, debe haber algún $k$ tal que $Z=n^{-1} \{k\}$ tiene un número infinito de puntos. Como $[0,1]$ es compacto, $Z$ tiene un punto límite $p \in [0,1]$ y por lo tanto tenemos $f^{(k)}(z) = 0$ en todas partes.

Elaboración : Dejemos que $p_n \in Z$ tal que $p_n \to p$ . Desde $f^{(k)}(p_n) = 0$ , el teorema de la identificación ( https://en.wikipedia.org/wiki/Identity_theorem ) muestra que $f^{(k)}(z) = 0$ en todas partes, de lo que se deduce que $f$ es un polinomio (tomar la expansión de la serie de potencias alrededor de cualquier punto).

Answer 3

También podemos resolver esto sin usar el teorema de la categoría baire..

podemos utilizar el hecho de que los ceros de la función analítica no nula son contables. Obsérvese que la unión de $A_{n}$ es $\mathbb{C}$ por lo que debemos tener alguna derivada fija idéntica a 0. Ahora usamos las series de potencias y la continuación analítica.