Convergencia uniforme no es una propiedad topológica?

Question

Supongamos que tengo una secuencia de funciones de $f_n: X \to Y$ entre métrica espacios que converge uniformemente a $f$. Luego si puedo cambiar la métrica de $Y$ a un Lipschitz equivalente métrico, la secuencia de funciones seguirá convergen uniformemente a $f$.

Sin embargo, me dicen que si puedo cambiar la métrica de $Y$ de tal manera que no moleste a la inducida por la topología, a continuación, $f_n$ puede no converger uniformemente. Mi pregunta es: ¿hay un simple ejemplo de una secuencia de funciones de $X$ a dos homeomórficos métrica espacios $Y$, $Y'$ convergen uniformemente en uno pero no el otro?

EDIT: pregunta levemente modificado en respuesta a los comentarios.

Answer 1

$Y$ no debe ser compacto para que esto sea posible (porque compacto espacios de la única estructura uniforme).

Usted puede simplemente construir una artificial ejemplo. Por ejemplo, supongamos $X={\bf N}$$Y={\bf N}\times [0,1]$, mientras que $Y'$ $Y$ con métrica en $\{n\}\times [0,1]$ escala por $1/n$ (de modo que el diámetro es de $1/n$, usted puede poner la distancia entre los componentes de cualquier manera que usted desee, por ejemplo poner $2$ cuando dos puntos están en diferentes componentes). Claramente, $Y'$ es homeomórficos a $Y$ (incluso por un local bi-Lipschitz de la función), pero si usted toma la secuencia de funciones de $(f_m)$ con $$f_m(n)=\begin{cases}(n,1) &\textrm{if }m>n\\ (n,0) &\textrm{otherwise}\end{cases}$$ you will have $f_m$ converge uniformly as sequence of functions into $S'$, but not so into $S$. You can replace $[0,1]$ aquí con cualquier no-trivial de espacio métrico.

Para un ejemplo diferente, tome $Y$ el intervalo de $(0,1]$ con el estándar métrico, y para $Y'$ el mismo intervalo de tiempo con la métrica escalar por una singular función, por ejemplo, para $y_1<y_2$ puesto $d(y_1,y_2)=y_1^{-1}-y_2^{-1}$, y poner $$f_m(n)=\begin{cases}\frac{1}{n} &\textrm{if }m>n\\ \frac{1}{n+1} &\textrm{otherwise}\end{cases}$$ Esta secuencia será uniformemente convergente en el nivel métrico, pero no en la escala métrica.

Answer 2

Considere la posibilidad de $f_n(x)=x+\frac1n$,$X=(0,1)$$Y=\Bbb R$, con la habitual métricas. Esto converge uniformemente a $f(x)=x$.

Ahora, cambiar la métrica de la codominio a $d'(x,y)=\frac1x-\frac1y$. Es decir, que $Y'$$(\Bbb R,d')$. A continuación,$f_n$, como una función de $X$ $Y'$ya no converge uniformemente a $f$.