Todos sabemos cómo tomar potencias tensoriales enteras de haces de líneas. Yo sostengo que también se deberían poder tomar potencias fraccionarias o incluso complejas de haces de líneas. Puede que no sean haces de líneas, pero tienen cierta vida geométrica. Tienen clases de Chern, y uno puede torcer los operadores diferenciales por ellos. ¿Cómo debo pensar en ellos? ¿Qué tienen que ver con los gerbos?
Respuestas
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Las potencias complejas de los haces de líneas son clases en $H^{1,1}$ o, de manera equivalente, gavillas de operadores diferenciales retorcidos (TDO) (trabajemos en la topología compleja). Esto mapea a $H^2$ con $\mathbb{C}$ coeficientes, o modding out por $\mathbb{Z}$ -cohomología, a $H^2$ con $\mathbb{C}^\times$ coeficientes. Este último clasifica $\mathbb{C}^\times$ gerbes, es decir, gerbes con una conexión plana (los gerbes habituales pueden describirse mediante $H^2(X,\mathcal{O}^\times)$ ). Nótese que los haces de líneas honestos dan el gerbo trivial.
De hecho, la categoría de módulos sobre una TDO sólo depende de la TDO hasta su tensado con haces de líneas, es decir, sólo depende del gerbo subyacente, y puede describirse como ordinaria $\mathcal{D}$ -módulos en el gerbo. O si se prefiere, los módulos holonómicos regulares sobre una TDO son lo mismo que las láminas perversas sobre el gerbo subyacente. Esto se explica, por ejemplo, en el enciclopédico capítulo 7 del documento Quantization of Hitchin Hamiltonians de Beilinson-Drinfeld, o creo que también en un artículo de Kashiwara, por ejemplo, en el volumen 3 de Asterisque sobre singularidades y teoría de la rep (y quizá incluso en su reciente $\mathcal{D}$ -libro de módulos). B&D habla en términos de cristalino $\mathcal{O}^\times$ gerbes en lugar de $\mathbb{C}^\times$ gerbes pero la historia es la misma.
Mikko Ohtamaa
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Si L es cualquier línea de paquete en un espacio (esquema, lo que sea) X, a es cualquier (aditivo) abelian grupo, y un elemento de A, existe un natural de la construcción de Un gerbe $L^a$ como sigue. Por definición, $L^a$ debe ser una "gavilla de categorías", o de la pila (no algebraicas) en X, y aquí están sus categorías de las secciones. Identificar L con su espacio total, que es un $\mathbb{G}_m$-bundle en X, y para cualquier conjunto abierto U en X, $L^a(U)$ ser la categoría de la totalidad de torsors en $L|_U$ cuyo monodromy sobre cada fibra de $L|_U \to U$ es una.
Uno puede comprobar que realmente este es un gerbe: es localmente no vacío, ya que si L es trivial más de U, puede escribir $L|_U = \mathbb{G}_m \times U$ y, a continuación, tire hacia atrás el único a-torsor en $\mathbb{G}_m$ con monodromy una. Tiene una acción natural de Un-torsors en X, dado tirando hacia arriba a lo largo del paquete de mapa de $L \to X$ y tensoring. Y esta acción es gratuita y transitiva, ya que la diferencia de dos monodromic torsors en $L|_U$ ha trivial monodromy en cada fibra, y por lo tanto desciende a X.
¿Por qué hago esto $L^a$? Supongamos que $L = \mathcal{O}_X(D)$ para un divisor D, donde por simplicidad supongamos que D es irreducible de grado n; entonces L es natural banalización en $U = X \setminus D$ tener un polo de orden n a lo largo de D. Como se muestra arriba, esto induce a una banalización $\phi$ $L^a$ en U, y si tomamos un pequeño conjunto abierto V de intersección D e tales que D es de hecho definido por una ecuación f de grado n, entonces tenemos un segundo (no canónicos) banalización $\psi$ $L^a$ V. puede comprobar que la diferencia de $\psi^{-1} \phi$, que es una automorphism de la trivial gerbe en $U \cap V$, es de hecho descrito por la a-torsor $\mathcal{T} = f^{-1}(\mathcal{L}_a)$ donde $f \colon U \cap V \to \mathbb{G}_m$ $\mathcal{L}_a$ es la torsor de monodromy una. Puesto que f tiene grado n, $\mathcal{T}$ ha monodromy na acerca de D. por lo tanto, es razonable decir que el natural de la trivialización $\phi$ tiene un polo de orden na, lo cual es consistente con el comportamiento de la banalización de la L mismo en la U, al elevar a potencias enteras.
¿Qué tiene que ver esto con la torsión de los operadores diferenciales? Supongamos que tenemos algún tipo de poleas (D-módulos, localmente constante poleas, perversa y poleas; técnicamente, deben formar una pila de admisión de una acción de Una torsors). Por un lado, uno podría imitar el por encima de la construcción de la $L^a$ a describir un-monodromic poleas en L, y esto es lo que se llama a menudo a torcer. Por otro lado, existe una forma natural directamente de la torcedura de las poleas por la gerbe $L^a$ sin mencionar a L en todo (que es, usted puede girar por cualquier A-gerbe). El procedimiento es el siguiente: un trenzado de gavilla es la asignación, para cada conjunto abierto U en X, de una colección de poleas en U parametrizada por las secciones de $L^a(U)$, y compatible con tensoring por Una torsors. Por supuesto, ya que si $L^a(U)$ es no vacío este es el mismo que dar sólo una gavilla, esta es una especie de exageración, pero la elección de un solo haz es no canónicos, mientras que esta descripción es canónica. Estas colecciones deben ser compatibles con la restricción de functors $L^a(U) \to L^a(V)$ al $V \subset U$. Es un ejercicio para el lector comprobar que este es el mismo como la otra definición de la torsión :)
Hombre, se hizo la pregunta correcta en el momento adecuado. Mi tesis es todo acerca de esta materia.
Eric Labashosky
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A cualquier homomorfismo de grupos de Lie $\phi: G \to H$ y cualquier director $H$ -Asamblea $P$ sobre un espacio $X$ se puede asociar lo que me gusta llamar el "gerbo de los levantamientos", es decir, la pila sobre $X$ cuyos objetos sobre $f: Y \to X$ consisten en un director $G$ -Asamblea $Q$ junto con un isomorfismo $Q_\phi \cong f^* P$ . Aquí $Q_\phi$ denota la asociación $H$ -un paquete. Esta pila no es más que $BG \times_{BH} X$ . (Obsérvese que conlleva una tautología $G$ -bundle, tirado de $BG$ .) Si $\phi$ es suryente con el núcleo $K$ , este es un $K$ -gerbe con banda trivial. Moralmente hablando, su clase de isomorfismo proviene de la imagen en el homomorfismo de conexión $H^1(X,H) \to H^2(X,K)$ y esto es literalmente cierto si $K$ es abeliana.
Para relacionar esto con la pregunta, considere el caso en que $G = H = {\bf C}^\times$ y $\phi$ toma el $k$ de la potencia. Entonces $K = \mu_k$ un grupo cíclico de orden $k$ . El gerbo de levantamientos mide el fracaso de un haz de líneas dado en $X$ para ser un $k$ de la potencia. (Por ejemplo, si no lo es, entonces no habrá objetos sobre $f =$ id). Coincide con la pila de raíces introducida por Cadman.
Es tentador considerar el $k$ el gerbo de la raíz $B$ de un haz de líneas $L$ como $L^{1/k}$ . Pero es un gerbo con grupo de estructura $\mu_k$ no es un haz con grupo estructural ${\bf C}^\times$ . Los topólogos deben pensar que es como un orbifold sobre $X$ pero con una estructura orbiforme repartida por todas partes. ¿Cómo es, entonces, que $B$ relacionado con un $k$ raíz de $L$ ? Como se ha señalado anteriormente, $B$ lleva un haz de líneas tautológico --- y su $k$ es el retroceso de $L$ de $X$ ¡!
Moraleja: haces de líneas fraccionarias en $X$ pueden realizarse como haces de líneas de buena fe en $\mu_k$ -gerbes más $X$ .
sickgemini
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2001
Es esto nada más que pensar acerca de la clase de Chern de la línea en su conjunto, en H^1(\Omega^1), que por supuesto puede ser multiplicado por cualquier número complejo? Por ejemplo, si usted tiene una curva elíptica E, un número complejo alfa y dos de la línea de paquetes de L y L' del mismo grado, hay alguna diferencia entre la alfa x L y alfa x L'?
goric
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5230
Cadman definido una raíz de la pila para la línea de paquetes en un sistema, y las variaciones sobre ese tema, tales como divisores de Cartier, en
Cadman, Charles, el Uso de pilas de imponer condiciones de tangencia de las curvas. Amer. J. Math. 129 (2007), no. 2, 405--427.
Tal vez esta construcción fue conocido como el folclore de antemano, en todo caso, para una línea de paquete le da una tv de gerbe, y puede hacer el trabajo para usted para poderes racionales.
