Cambio de base del tensor

Question

Tengo una pregunta relacionada con los tensores y los cambios de base, sin embargo al buscar en la web he encontrado infinidad de definiciones de tensores así que tendré que dar la que conozco primero:

Dado un espacio vectorial $E$ sobre un campo (conmutativo) $F$ llamamos, para $p\ge 1$ a $p$ -tensor covariante un mapa del tipo $$f:E\times\overset{\text{(p)}}{\dotsb}\times E\to F$$ donde $f$ es $p$ -lineal (lineal en cada uno de los $p$ componentes). Llamamos al conjunto de $p$ -tensores covariantes (sobre $E$ ) $T_p(E)$ que es el conjunto de $p$ -mapas lineales de $E$ a $F$ En otras palabras, $T_p(E) = \mathcal L_p(E,F)$ .

A continuación definimos para $f \in T_p(E),\ g \in T_q(E)$ el producto tensorial de $f$ y $g$ , como $f \otimes g \in T_{p+q}(E)$ , donde: $${f\otimes g : E\times\overset{\text{(p)}}{\dotsb}\times E\times\overset{\text{(q)}}{\dotsb}\times E \to F} \atop {(u_1,\dots,u_p,v_1\dots,v_q) \mapsto f(u_1,\dots,u_p)\cdot g(v_1\dots,v_q)}$$

Por ejemplo, para $p=1, \ T_1(E) = E^*$ . Para la arbitrariedad $p$ se puede demostrar que $T_p(E)$ es un espacio vectorial sobre $F$ y si $e_1,\dots,e_n$ es una base para $E$ con base dual $e_1^*,\dots,e_n^*$ ( $e_i^*(e_j) = \delta_{ij}$ ) entonces una base para $T_p(E)$ es $\{e_{i_1}^*\otimes\dots\otimes e_{i_p}^*\}_{1\le i_1,\dots, i_p\le n}$

Mi pregunta se refiere a los tensores de 2 covariantes. Para simplificar, digamos que tenemos $\varphi\in T_2(E)$ y $E$ es bidimensional con base $e_1,e_2$ . Entonces $T_2(E)$ tiene la base ordenada $B_e = \{e_1^*\otimes e_1^*, \ e_1^*\otimes e_2^*, \ e_2^*\otimes e_1^*, \ e_2^*\otimes e_2^*\}$ y $\varphi = (a,b,c,d)$ en esta base.

Lo que quiero saber es, si $B_u$ es una base similar de $T_2(E)$ en relación con la base $u_1, u_2$ de $E$ ¿Cómo puedo expresar $\varphi$ en base $B_u$ utilizando el hecho de que conozco la matriz de cambio de base que cambia de $e_1,e_2$ a $u_1,u_2$ en $E$ ? Sé que tiene que ver con un producto Kronecker de matrices, pero no entiendo muy bien cómo funciona.

Answer 1

Dejemos que $B$ y $B'$ sean dos bases de $E$ y denotar por $A$ la matriz de cambio de base de $B$ a $B'$ . Primero están las bases duales inducidas en $E^\ast = T_1(E)$ , denotado por $B^\ast$ y $B'^\ast$ . La matriz de cambio de base de $B^\ast$ a $B'^\ast$ es $A^\ast:= {}^t A^{-1}$ como puede comprobar fácilmente.

Ahora tienes bases inducidas $\tilde{B}$ y $\widetilde{B'}$ en $E^\ast \otimes E^\ast := T_2(E)$ con sus anotaciones. La matriz de cambio de base de $\tilde{B}$ a $\widetilde{B'}$ es el producto Kronecker de $A^\ast$ con ella misma.

Mira la página de Wikipedia si no conoces los productos de Kronecker.

Creo que la mejor manera de entender estas cosas es aprender productos tensoriales de espacios vectoriales y no sólo productos tensoriales de mapas.

Edición: Para demostrar estas cosas, tienes que escribir cuidadosamente la matriz de cambios de base. Escribe $B = (e_1,\dots,e_n)$ y $B' = (f_1,\dots,f_n)$ . Por definición de $A$ , $f_i = \sum_{j=1}^n A_i^j e_j$ (también puede adoptar la otra convención). Ahora quieres la matriz de $B^\ast$ a $B'^\ast$ . Esta matriz $C$ debe satisfacer $f_i^\ast = \sum_{j=1}^n C_i^j e_j^\ast$ . Evaluar en $f_k$ que encuentres, $\delta_i^k = \sum_{j=1}^n C_i^j e_j^\ast(f_k)$ . Pero $f_k$ es $\sum_{l=1}^n A_k^l e_l$ . Así que $\delta_i^k = \sum_{j=1}^n C_i^j A^j_k$ . Estas ecuaciones se satisfacen para $C = {}^t A^{-1}$ que muestra la primera parte.

Para el producto tensorial, hay que entender cómo se escribe $f_{j_1}^\ast \otimes f_{j_2}^\ast$ con $e_{i_1}^\ast \otimes e_{i_2}^\ast$ . Tenemos $f_{j_1}^\ast \otimes f_{j_2}^\ast = (\sum_{i_1} C_{j_1}^{i_1} e_{i_1}^\ast) \otimes (\sum_{i_2} C_{j_2}^{i_2} e_{i_2}^\ast) = \sum_{i_1, i_2} C_{j_1}^{i_1} C_{j_2}^{i_2} e_{i_1}^\ast \otimes e_{i_2}^\ast$ .

Compare estos coeficientes con la definición del producto de Kronecker; encontrará lo mismo (con un cierto ordenamiento de las bases en $T_2(E)$ ).