Cómo saber qué serie de Fourier de la función utilizar para calcular el valor de la serie.

Question

Me hicieron esta pregunta cuando estaba haciendo unos ejercicios. Me pidieron que estableciera $$ \sum_{n=0}^{\infty}\frac {1}{(2n+1)^2}=\frac{\pi^4}{96},\quad \sum_{n=0}^{\infty}\frac {1}{(2n+1)^6}=\frac{\pi^6}{960},\quad \sum_{n=1}^{\infty}\frac {1}{(n)^6}=\frac{\pi^6}{945} $$

Y me guiaron para evaluar la serie de Fourier de algunas funciones, y utilizar la Identidad de Parseval.

Sin embargo, me preguntaba cómo pueden determinar qué función deben utilizar para evaluar la suma. Para la primera, utiliza $f(x)=|x|$ para el segundo, utiliza la función impar en $[-\pi,\pi]$ donde $f(x)=x(\pi-x)$ en $[0,\pi]$ . Para la tercera, utiliza $f(x)=x^2$ e integra su representación de Fourier antes de utilizar la Identidad de Parseval.

¿Existe alguna regla sobre qué función debo seleccionar para evaluar la suma? Sin las pistas de las preguntas, no tengo ni idea de cómo resolver los problemas.

Answer 1

Hasta donde yo sé, no existe una norma general. Pruebe con $f(x)=A\,x^2+B\,x+C$ en $[-\pi,\pi]$ o en $[0,\pi]$ y se extienden hasta $[-\pi,\pi]$ como función par o impar, y eligió $A,B,C$ para obtener el resultado deseado. Por supuesto, esto se puede hacer con polinomios de mayor grado.