Deje $f(z)$ ser un uno-a-uno de la función, Muestran que $f(z)=az+b$.

Question

Deje $f(z)$ ser un uno-a-uno de la función, Muestran que $f(z)=az+b$.

Yo :

Debido a $f$ se entera de que tiene un desarrollo en serie de taylor alrededor de cero (en particular).

$f(z)=\sum^{\infty}_{k=0} a_kz^k$

La prueba por contradicción : deje $m \geq 2$ Supongamos $a_m \neq 0 $ $ f(c)=f(b) \Rightarrow \ \ \ 0= f(c)-f(b)= \sum^{\infty}_{k=0} a_k(c^k-b^k ) \therefore \ \ c^m-b^m=(c-b)(c^{m-1}+c^{m-2}b+...+b^{m-2}c+b^{m-1})=0 $

Esto implica :

i) $c=b \ \ \ $ aparentemente no tengo una contradicción

o

ii) $(c^{m-1}+c^{m-2}b+...+b^{m-2}c+b^{m-1})=0$

Puede alguien decirme qué está mal ?

Gracias de antemano

Answer 1

Se necesita de la siguiente proposición:

Si $f$ es todo y $\lim_{z\to \infty} f(z)=\infty$ $f$ es un polinomio.(Puede ser comprobado con singularidades etc.-si usted desea ayudar con eso,que me lo diga).

Ahora $f$ $1-1$ y todo. Tenemos que $\lim_{z\to \infty} f(z)=\infty$ porque si no, entonces por el Teorema de Liouville $f$ sería constante y por lo tanto no $1-1$.

Por la proposición anterior $f$ es un polinomio. Ahora $f$ ($\Bbb C$ está conectado) y $1-1$ $=>$ $f'(z)\neq 0$ para cada $z\in \Bbb C$.

Ahora vamos a $f'$ a que no sea un polinomio constante y desde el Teorema Fundamental del Álgebra que tiene al menos una raíz. Pero tenemos que $f'(z)\neq 0$ por cada $z$. Esto significa una cosa. Que $f'$ es constante.Así que vamos a $f'(z)=a\neq 0$. A continuación,$\int f'(z) dz=az+b$.

Answer 2

De esto no se sigue de $\sum_1^\infty a_k(c^k-b^k)=0$ que $c^m-b^m=0$ todos los $m$. Esta es la razón por la constancia de su intento no funciona.