¿Existe una analítica de la función $f$, definida en una vecindad de a $\overline{\mathbb{D}}$, de tal manera que $f(\overline{\mathbb{D}})=\overline{\mathbb{H}}$ ? donde$ \overline{\mathbb{H}} = \{ z \in \mathbb{C} | \ Imz \geq 0\} $$\overline{\mathbb{D}} = \{ z \in \mathbb{C} | \ |z| \leq 1\}$.
La primera cosa que viene a mi mente es el lineal fraccional de transformación de $T(z)=\frac{i-iz}{1+z}$ (no es analítica en cualquier barrio de $ \overline{\mathbb{D}}$, ¿verdad? ya que no estamos considerando la esfera de Riemann, o, equivalentemente,$f'(-1)=\infty \notin \overline{\mathbb{H}}$). Pero el uso de este o cualquier otro lineal fraccional de transformación tiene que asignar la unidad de círculo sobre la recta real, por lo tanto un punto , decir $z_0$ sobre el círculo unidad obtiene asignada a $\infty$; por lo tanto,$ f(z_0) \notin \overline{\mathbb{H}}$. Es correcto que no hay lineal fraccional de transformación puede hacer el trabajo ? ¿Cómo podemos demostrar que un mapa no existe ?
Cualquier sugerencia o idea que se aprecia.
