Debe monótona de la función tiene un tono monótono derivados?

Question

Si una función es diferenciable y monótono en el intervalo de $(a, b)$, entonces su derivada es también la monotonía en $(a, b)$.

¿Cómo se puede demostrar que esta afirmación es incorrecta?

Por favor, puedes poner un ejemplo?

Answer 1

${}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}$

Answer 2

Considere la posibilidad de $f(x)=x^3$$[-1,1]$. Entonces es claramente monótono, pero $f'(x)=3x^2$, lo que es claramente no monótono.

Answer 3

No, no debería.

La explicación de este hecho puede estar basada en la convexidad de la función, que depende de la segunda derivada de la función.

En otras palabras: si la función es monótona en un intervalo, así como su derivado, la función no tiene puntos de inflexión. En caso de que la función es monótona, pero su derivada es no, la función tiene punto(s) de inflexión en el intervalo.

Cuando la función es monótona, pero su derivada no es, en función de los cambios de tipo de su convexidad siendo monótono. Por supuesto, esto ocurre en el caso de que si se la convexidad condición es verdadera.

Varias personas ya han publicado $x^3$ como ejemplo. Aquí están algunas de las parcelas: la función y su primera y segunda derivadas.

Otro ejemplo:

Answer 4

$f(x)=x^3$ ,$-1<x< 1$.

Answer 5

Sólo otro ejemplo de $f(x)=x^3+x$ tiene un no-cero derivado $3x^2+1$.

La única cosa que usted necesita para $f(x)$ aumentar es para la derivada a ser no negativo (y si quieres estrictamente creciente usted necesita los ceros de la derivada a ser aislado). Tome su favorito wiggly no negativo de la función (no patológicos) y se integran en ella - por ejemplo,$\sin^2 x$.