relación funcional

Question

Necesito encontrar funciones de $f : \mathbb{R}_{+} \rightarrow \mathbb{R}$ que satisface $$ f(0) =1 $$ $$ f(\max(a,b))=f(a)f(b)$$ Para cada una de las $a,b \geq 0$.

He encontrado dos funciones que satisfacen mis criterios. $$ f_1(x)=1$$ $$f_2(x) = \begin{cases} 0, & \text{if } x>0 \\ 1, & \text{if } x=0 \end{casos} $$

Hay otra función que satisface mis criterios?

Answer 1

Desde $f(a)f(b)=f(b)$ todos los $b\ge a$, $f(b)=0$ o $f(a)=1$. Si $f(a)=0$, $f(b)=0$ todos los $b\ge a$. Si $f(b)=1$, $f(a)=1$ todos los $a\le b$.

Por lo tanto, parece que por cualquier $a\ge0$, las funciones $$ f_a^+(x)=\left\{\begin{array}{} 1&\text{for }x\le a\\ 0&\text{for }x\gt a \end{array}\right. $$ y para cualquier $a\gt0$, las funciones $$ f_a^-(x)=\left\{\begin{array}{} 1&\text{for }x\lt a\\ 0&\text{for }x\ge a \end{array}\right. $$ y la función $$ f_\infty(x)=1,\quad\text{para todo }x $$ todos cumplen con las condiciones, y esto debería ser de todos.

Answer 2

Para cualquier $x>0$, $f(x)=f(x)^2$ se sigue que $f(x)=0$ o $1$. Demostrar que, si $f(a)=1$$f(x)=1 \ \forall x\leq a$.