Triple producto escalar - ¿por qué equivalente determinante?

Question

Estoy mirando el triple producto y me pregunto: ¿hay alguna demostración (posiblemente uno simple) que

?

Estas dos cosas parecen totalmente ajenos a mí

Answer 1

He aquí una perspectiva ligeramente diferente.

Utilizamos el recurso mnemotécnico...

$$ \langle a_1,a_2,a_3 \rangle \times \langle b_1,b_2,b_3 \rangle = \begin{vmatrix} {\bf i} & {\bf j} & {\bf k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} $$

...recordar la fórmula para el producto cruzado.

Si usted piensa acerca de el producto escalar en el siguiente (algo extraño), el triple producto escalar identidad se convierte en una trivialidad: producto escalar de-ing reemplaza estándar de la unidad de vectores con los correspondientes componentes del vector:

$$ (a_1{\bf i} + a_2{\bf j}+a_3{\bf k}) \bullet (b_1{\bf i} + b_2{\bf j}+b_3{\bf k}) = b_1\fbox{$a_1$}+b_2\fbox{$a_2$}+b_3\fbox{$a_3$}$$

Por lo ${\bf i,j,k}$ han sido sustituidos por $a_1,a_2,a_3$ respectivamente. Así

$$ \langle c_1,c_2,c_3 \rangle \bullet (\langle a_1,a_2,a_3 \rangle \times \langle b_1,b_2,b_3 \rangle) = \begin{vmatrix} \fbox{$c_1$} & \fbox{$c_2$} & \fbox{$c_3$} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} $$

Answer 2

Estoy bastante seguro de que no quieres respuesta, pero no pude resistir.

El término de la izquierda es un alternando $3$-forma lineal en $(a,b,c)$.

Así que es igual a un número constante de veces el determinante de la derecha..

Calcular la constante con la base canónica. Es $1$.

De modo que el lado izquierdo es igual a la rhs.

Nota: consulte aquí si usted quiere leer acerca de esta caracterización de los determinantes y consulte aquí si usted quiere una prueba de que el hecho de que el espacio de $n$-lineal de la alternancia de las formas es unidimensional.

Answer 3

La forma más fácil de demostración es sólo para cmpute ambos lados de la ecuación:

$$b\times c=(b_2c_3-b_3c_2,b_3c_1-b_1c_3,b_1c_2-b_2c_1)$$ $$a\cdot(b\times c)=a_1b_2c_3-a_1b_3c_2+a_2b_3c_1-a_2b_1c_3+a_3b_1c_2-a_3b_2c_1$$

Ese es el factor determinante. Tenga en cuenta que cada término de la suma es una permutación posible multiplicado por su paridad, que pasa a ser la definición de determinante.

Answer 4

La verdad es que te han mentido, o al menos que la notación habitual hace que la conexión innata manera más difícil de ver que es necesario.

Para ver cómo los dos son el mismo, déjenme decirles acerca de la cuña del producto. La cuña de producto de vectores es como el producto cruzado, en el que se anticommutative--$a \wedge b = -b \wedge a$, pero no producir un vector. En cambio, nosotros directamente interpretar el resultado como un plano de objeto, en realidad, como en el plano de objetos que podrían ser perpendicular al vector de la cruz del producto.

Nos formalizar esta relación de la siguiente manera: se dice que $a \times b= -i a \wedge b$, donde el $i = \hat x \wedge \hat y \wedge \hat z$ es la unidad pseudoscalar, lo que representa un volumen. El pseudoscalar en sí es un objeto de interés, ya que se convierte cuñas a punto los productos y viceversa cuando se mueve a través de expresiones. De hecho,

$$a \cdot (b \times c) = a \cdot (i [b \wedge c]) = i (a \wedge b \wedge c)$$

¿Cómo es que todo esta cuña cosas conectarse al álgebra lineal? Muy simple, en realidad. La mayoría de los lineales de los operadores de "distribuir" sobre los gajos de una manera intuitiva. Es decir, para un operador lineal $\underline T$,

$$\underline T(a \wedge b) = \underline T(a) \wedge \underline T(b)$$

Esto es a diferencia de la cruz del producto, que no sigue una simple ley. La ventaja de esto es que, de forma exclusiva,

$$\underline T(a \wedge b \wedge c) = \alpha a \wedge b \wedge c$$

para algunos escalares $\alpha$, para cada $a, b, c$. Llamamos a $\alpha$ el determinante! Es el número especial por el cual cada volumen objeto está dilatado o reducido por la transformación lineal, y aquí se convierte en geométricamente claro que ese es el caso: $a \wedge b \wedge c$ es, literalmente, multiplicado por $\alpha = \det T$, como resultado de la transformación.

Ahora, la construcción de una transformación lineal como así. Deje $l, m, n$ ser vectores, por lo que una transformación se ve como

$$\underline T(a) = (a \cdot e_1) l + (a \cdot e_2) m + (a \cdot e_3) n$$

A continuación, $l,m,n$ son las columnas de la matriz de representación de $\underline T$, e $\underline T(i) = l \wedge m \wedge n$. Esto completa la conexión entre el determinante y el triple producto escalar.

Answer 5

Vamos a utilizar el índice (tensor) notación $$ \mathbf a \cdot (\mathbf b \times \mathbf c) = a_i (\mathbf b \times \mathbf c)_i = a_i \varepsilon_{ijk} b_jc_k = \varepsilon_{ijk} a_i b_j c_k = det \left | \begin{array}{ccc} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{array}\right| $$