Hallar las asíntotas de la $ f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},f(x)=\sqrt[3]{e^{x}-e^{2x}+e^{4x}\ln^{2}(1+e^{-x})}. $
Me encontré con que $y=0$ es una asíntota al $ x\rightarrow -\infty $, pero ¿cómo puedo calcular el $ \lim_{x\to\infty }f(x) $ ?
Respuesta
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Vamos a ver lo que sucede cuando $x\to \infty$. Tenemos $\ln(1+y)= y-\frac{y^2}{2}+\frac{y^3}{3}+O(y^4)$ $y\to 0$ por lo tanto $$ f(x)= \left(e^x-e^{2x}+e^{4x}\left(e^{-x}-\frac{e^{-2x}}{2}+\frac{e^{-3x}}{3}+O(e^{-4x})\right)^2\right)^{1/3} $$ que es $$ f(x)= \left(e^x-e^{2x}+e^{4x}\left(e^{-2}-e^{-3x}+\frac{11}{12}e^{-4x}+O(e^{-5x})\right)\right)^{1/3} $$ por lo tanto $$ f(x)= \left(\frac{11}{12}+O(e^{-x})\right)^{1/3}. $$
En particular, $$\lim_{x\to \infty}f(x)=\left(\frac{11}{12}\right)^{1/3}.$$
