Raíces de$f(x)=\sin(x)-ax$

Question

¿Cuántas raíces hay de la función$f(x)=\sin(x)-ax$, donde$a$ es un número positivo? Claramente para todos$a$,$x=0$ es una raíz; si$a>1$ esa es la única raíz. Las raíces también serán simétricas respecto al origen. Conjeturo que hay$2\lfloor 1/(a\pi)\rfloor+1$, pero no estoy seguro de cómo probar esto.

Answer 1

Deje $\#(a)$ el número de soluciones reales de la ecuación de $\sin x = ax$.

Para $a \lesssim 1$ tenemos $\#(a) = 3$, y esta se mantiene constante como $a$ disminuye hasta $a = a_0$, cuando la línea $y = ax$ es tangente a la curva de $y = \sin x$. Este punto de tangencia se produce justo a la izquierda de $x = 2\pi + \tfrac{\pi}{2}$. Aquí $\#(a_0) = 5$, y, a continuación, para $a \lesssim a_0$ tenemos $\#(a) = 7$.

La función de $\#(a)$ continúa de esta manera, con un aumento del $2$ al $a$ disminuye a un valor para el que los gráficos son tangentes, entonces se aumenta por $2$ al $a$ se vuelve más pequeño.

El valor de $a$ que $\#(a) = 4n+1$, que es cuando la línea $y = ax$ es tangente a la gráfica de $\sin x$, es la única solución real de la ecuación

$$ \sqrt{1-a^2} = a (2\pi n + \arccos una). \etiqueta{$*$} $$

Podemos expresar esta solución como

$$ a = \frac{1}{2\pi n + \frac{\pi}{2} - \epsilon_n}, $$

donde$\epsilon_n > 0$$\epsilon_n \to 0$$n \to \infty$. Además,

$$ \#\left(\frac{1}{2\pi n + \frac{\pi}{2}}\right) = 4n+3. $$

En este sentido,

$$ \begin{align} \#(a) &= 3 + 4\sum_{n=1}^{\infty} \left[1 - H\left(a - \frac{1}{2\pi n + \frac{\pi}{2} - \epsilon_n}\right)\right] \\ &\approx 3 + 4\sum_{n=1}^{\infty} \left[1 - H\left(a - \frac{1}{2\pi n + \frac{\pi}{2}}\right)\right] \tag{%#%#%} \end{align} $$

para las pequeñas $**$ donde $a$ es la función escalón unitario. Aquí está una parcela de esta aproximación:

Por supuesto, no necesitamos que cada término de la suma infinita para calcular el $H$, sólo tenemos que sumar la mayor $\#(a)$ tal que

$$ a \leq \frac{1}{2\pi n+ \frac{\pi}{2} - \epsilon_n} \approx \frac{1}{2\pi n+ \frac{\pi}{2}}, $$

que es

$$ n \approx \left\lfloor \frac{1}{2\pi} - \frac{1}{4}\right\rfloor. $$

De este modo obtenemos la aproximación

$$ \#(a) \aprox 3 + 4 \left\lfloor \frac{1}{2\pi} - \frac{1}{4}\right\rfloor, \etiqueta{$n$} $$

que, por desgracia, se salta los valores de $***$ donde $\#(a)$ es tangente a $ax$.

Yo esperaría que encontrar una forma cerrada para el valor de $\sin x$ que resuelve $a$ sería difícil, si no imposible.