La siguiente afirmación es un conocido consecuencia de la Whitney-Graustein teorema:
La reclamación. De no existir $H\colon\mathbb{S}^1\times[0,1]\overset{C^1}{\rightarrow}\mathbb{R}^2$ tal que para todo $t\in [0,1]$, $H(\cdot,t)\colon\mathbb{S}^1\rightarrow\mathbb{R}^2$ es una inmersión, $H(\cdot,0)=(\cos(2\pi\cdot),\sin(2\pi\cdot))$$H(\cdot,1)=(\cos(2\pi \cdot),-\sin(2\pi\cdot))$.
En otras palabras, es imposible llevar a cabo un círculo de la eversión en el plano, es decir, es imposible continuamente y regularmente cambiar la orientación del círculo mientras se pegue al avión.
Sin embargo, quiero ilustrar que es posible darse cuenta de que el círculo de la eversión en el $3$espacio tridimensional.
La idea es espesar el círculo en un cilindro, realizar una $\pi$-giro en el cilindro con el fin de poner en su interior y, finalmente, a retractarse de la eversión de cilindro en su círculo ecuatorial.
Mi principal preocupación es la de representar gráficamente el proceso anterior el uso de un software matemático, por ejemplo, SageMath. Traté en vano de escribir fórmulas explícitas para ella y aquí estoy pegado. Por favor, tenga en cuenta que los siguientes homotopy no parece ninguna buena:
$$\forall x\in\mathbb{S}^1\times [-1,1],\forall t\in [0,1],H(x,t)=\frac{x}{\|x\|^{2t}}.$$
Cualquier iluminación será muy apreciada!
