Bezout en $\mathbb C [x,y]$

Question

Que $f_1, f_2 \dots, f_r \in \mathbb C [x,y]$ y Supongamos que %#% $ #%

Mostrar que $$\gcd(f_1, \dots , f_r)=1$ es finito.

Solución parcial: suponga que $V(f_1, \dots , f_r) \subset \mathbb A^2$, y $(x_0,y_0) \in V(p(x,y),q(x,y))$ podemos utilizar Bezout y dicen que hay $(x,y_0)$ tal que % a(x),b(x),h(x) \in \mathbb C [x]$

Así que hay finito $$ a(x)p(x,y_0) + b(x)q(x,y_0)=h(x)$, que$x_i \in \mathbb C$. Lo mismo se aplica para$(x_i,y_0)\in V(p(x,y),q(x,y))$.

Answer 1

Usted está en el camino correcto en el uso de la identidad de Bézout. Supongamos $f, g \in \mathbb{C}[x,y]$$\gcd(f, g) = 1$. Ahora, $\mathbb{C}[x,y]$ no es un dominio Euclídeo, sino $\mathbb{C}(x)[y]$ es. Por la identidad de Bézout, entonces no existe $a,b \in \mathbb{C}(x)[y]$ tal que $af + bg = 1$. Escrito $$a(x,y) = \frac{a_1(x,y)}{a_2(x)} \quad \text{y} \quad b(x,y) = \frac{b_1(x,y)}{b_2(x)}$$ entonces $$\begin{align*} 1 &= af + bg = \frac{a_1(x,y)}{a_2(x)} f(x,y) + \frac{b_1(x,y)}{b_2(x)} g(x,y) \end{align*}$$ y compensación de los rendimientos de los denominadores $$b_2(x)a_1(x,y) f(x,y) + a_2(x)b_1(x,y)g(x,y) = a_2(x) b_2(x) \, .$$ Desde $a_2, b_2 \in \mathbb{C}[x]$ son polinomios en una variable, que tiene sólo un número finito de ceros. Esto demuestra que hay sólo un número finito de posibilidades para $x_0$ en un punto de $(x_0, y_0) \in \mathbb{V}(f,g)$. El intercambio de los roles de $x$$y$, el mismo argumento muestra que hay sólo un número finito de posibilidades para $y_0$.