Mismas formas cuadráticas en $\mathbb R^n$

Question

Que $q$ ser un producto interno en $\mathbb R^n$ y su matriz en la base canónica de $Q$ $\mathbb R^n$.

Se supone que el grupo de $$SO(q)={A\in M_n(\mathbb R) \ | \ A^TQA=Q}$$ of matrices with positive determinant preserving the quadratic form $q $ is equal to $ tan (\mathbb n, R) $.

¿Es cierto que $q$ es el producto escalar canónico en $\mathbb R^n$? ¿Es posible recuperar el Grupo ortogonal de $q$ de $SO(q)$?

Answer 1

Desde $SO(q)=SO(n,\mathbb{R})$ entonces cada $A\in SO(q)$ satisfacer $A^tA=AA^t=Id$. Así, $QA=AQ$ cada $A\in SO(n)$.

Que $v$ sea un vector propio normalizado de la matriz simétrica $Q$ asociado al valor propio $a$.

Que $w$ sea cualquier vector normalizado de $\mathbb{R}^n$. Siempre es posible encontrar una matriz $A\in SO(n)$ tal que $Av=w$.

Observe que $Qw=QAv=AQv=aAv=aw$. Así, cualquier $w\in\mathbb{R}^n$ es un vector propio de $Q$ asociados a $a$. Así, $Q=aId$.