Me parece razonable que si $f:X\rightarrow Y$ es el mapa constante entonces $f_{*}:H_{n}(X)\rightarrow H_{n}(Y)$ es el mapa cero para $n>0$ . Pero no veo cómo probar esto. Si $n$ es impar entonces está bien como si $[p]_{n}$ denotan la clase de mapa único de $\Delta^{n}\to Y$ entonces para impar $n$ , $[p]_{n}=\partial[p]_{n+1}$ . Cómo mostrar para incluso $n$ ?
Respuesta
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Creo que es más sencillo ver que si $f : X \to Y$ es un mapa constante, entonces es un factor como $X \to * \to Y$ donde $*$ es un singleton. Por lo tanto, $f_*$ factores a través de $H_n(X) \to H_n(*) \to H_n(Y)$ . Pero $H_n(*) = 0$ para $n > 0$ De lo que se deduce que $f_*$ es el mapa cero.
De hecho, esta prueba demuestra que cualquier ciclo en $C_n(X)$ (¿supongo que aquí se trata de homología singular?) se envía a cero en el nivel de las cadenas para incluso $n$ porque si $\sigma \in C_n(X)$ es un ciclo, también lo es su imagen en $C_n(*)$ pero no hay ciclos no triviales en $C_n(*)$ cuando $n>0$ es uniforme. En particular, será difícil encontrar una cadena cuyo límite sea $[p]_n$ porque ni siquiera es un ciclo, en realidad.
PD: Es un hecho general que trabajar directamente a partir de la definición de la homología es demasiado complicado, excepto en casos muy especiales y/o para pruebas muy técnicas. Trabajar con propiedades de la homología es mucho más limpio.
