Verificación de prueba de límite

Question

Revisión de límites y me temo que puedo haciendo errores, buscando sólo una verificación rápida de la prueba.

$f(x)=x^4$, probar que $\lim _{x \rightarrow a}=a^4$ demostrando cómo encontrar $\delta$.

Este es mi trabajo. $|x^4 - a^4 |

Factoring: $|x^2 +a^2||x-a||x+a|

$|x^2 +a^2||x-a||x+a| = ((-1+a)^2 +a^2 )((1+a)+a)(x-a))=|2a(1+2a^2 -2a)||x-a|

Entonces tenemos $$\delta =min\lbrace 1, \frac{\epsilon}{ |2a(1+2a^2 -2a)|} \rbrace$ $

¿Cómo verá?

Answer 1

Solución alternativa.

Necesidad de encontrar un límite $|x^2 + a^2||x + a|$. Tomemos por ejemplo, $|x - a|

$$|x^2 + a^2||x + a| = |x^2 - a^2 + 2a^2 ||x - a + 2a| = (|x^2 - a^2 + 2a^2 |)(|x - a + 2a|)$$

Esto no cambia la expresión desde $a^2 - a^2 = 0$ y $a - a = 0$

Usando el % de la desigualdad de triángulo $|x + y| \le |x| + |y|$

$$(|x^2 - a^2 + 2a^2 |)(|x - a + 2a|)$$

$$\le (|x^2 - a^2| + |2a^2 |)(|x - a| + |2a|)$$

$$\le (|x - a||x + a| + |2a^2 |)(|x - a| + |2a|)$$

$$\le (|x - a||x -a + 2a| + |2a^2 |)(|x - a| + |2a|)$$

$$\le (|x - a| \cdot (|x -a| + |2a|) + |2a^2 |)(|x - a| + |2a|)$$

$$|x - a|

$$

$$

Por lo tanto

$$|x^2 + a^2||x + a|

Por lo tanto

$$|x^2 + a^2||x + a||x - a|

$$|x - a|

Tomar %#% $ #%