Espacio que es localmente conectado en cualquier momento ni totalmente desconectado

Question

Deje $X$ ser un espacio topológico; entonces decimos que la $X$ está conectado localmente a $x$ si $x$ admite un barrio de la base de abiertos, conjuntos conectados. En este sentido, un espacio es localmente conectado iff es conectado localmente en cada punto.

Considere el siguiente.

• Es fácil ver que un espacio que es a la vez conectados localmente y totalmente desconectados deben ser discretas.
• Cantor de la fuga de la tienda es un ejemplo de un espacio que es totalmente desconectada pero no conectado localmente en cualquier momento.
• Varios espacios están conectados localmente, pero no totalmente desconectado.

He pensado en espacios que no están conectados localmente en cualquier momento, ya que son necesariamente "mucho más raro" que la costumbre no conectado localmente espacio. Tal vez esta condición es equivalente a otra?

Sospecho que debe haber un espacio que no es ni conectado localmente en cualquier punto ni totalmente desconectado, pero no he sido capaz de producir o encontrar un ejemplo.

Gracias de antemano.

Answer 1

¿Por qué este espacio? $${(x,y)\in\Bbb R^2\mid x\in{\frac1n+\frac1m\mid n,m\in\Bbb N}, y\in[0,1] }$$

Answer 2

Aquí hay otro ejemplo: $$X=(\mathbb R\times{0})\cup(\mathbb Q\times\mathbb Q).$$ Any neighborhood of any point is disconnected, but $\mathbb R\times\ {0} $ es un componente conectado, por lo que el espacio no es totalmente desconectado.