Encontrar el máximo local de función analítica

Question

Dada una función $f=z^2+iz+3-i$.

Necesito encontrar el máximo de $|f(z)|$ en el dominio $|z|\leq 1$

Sé que el maximimum debe estar en $|z|=1$ pero cuando intenté poner $z=e^{i\theta} $ en la función me perdí en los cálculos.

Gracias

Answer 1

Uno (no elegante solución) es sustituir $z=a+bi$ $a^2+b^2=1$, de utilizar multiplicadores de Lagrange para encontrar $|f|^2$ extremo (como función de $a$ y $b$) en el círculo unitario.

Answer 2

es de $|f|^2$ para el valor $e^{it}$ $$6 - 2 \sin t - \sin 2t - \cos t + 3 \cos 2 t$ $

Algunos trazado sugiere que el máximo se alcanza en $t= \pi$, valor de 10 por ciento. Comprobación:\begin{eqnarray} 10 -(6 - 2 \sin t - \sin 2t - \cos t + 3 \cos 2 t) = 4 + 2 \sin t + \sin 2t + \cos t - 3 \cos 2 t = \ = 2 \cos^2 (t/2)\cdot ( \cos^2 (t/2) + 13 \sin^2 (t/2)\, ) \ge 0 \end{eqnarray}

Answer 3

$z=x+iy$ Obtener $$|f|^2=(x^2-y^2-y+3)^2+(2xy+x-1)^2$ $ ahora diferenciando, y aplicando la condición $x^2+y^2=1$ obtener los valores de % crítico $x$que las raíces de la ecuación $$2x^3-17x+3=0$ $ las raíces es $-3$ y $\frac 32 \pm \frac {\sqrt7}{2}$ y de estos sólo el $\frac 32-\frac {\sqrt7}{2}$ satisface la restricción. Entonces es una cuestión de cálculo para obtener el $|f|$.

¿Este sonido como un enfoque válido? Tal vez es una forma mucho más elegante.