Estrategias para encontrar $[\mathbb{Q} (\sqrt{2} + \sqrt{3}) : \mathbb{Q} ]$

Question

Necesito encontrar el grado de la extensión $\mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt{3})$ sobre $\mathbb{Q}$. No sé muy bien cómo hacerlo, ni puedo exhibir ningún polinomio con raíz $\sqrt{2} + \sqrt{3}$, pero creo que tiene que tener al menos grado $4$. Intenté trabajar con $\mathbb{Q}(\sqrt{2} + \sqrt{3})$ como un subespacio de $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ sobre $\mathbb{Q}$, pero tampoco sé si ese es el caso.

Answer 1

$\frac1{\sqrt2+\sqrt3}=\frac1{\sqrt2+\sqrt3}\cdot \frac{\sqrt2-\sqrt3}{\sqrt2 -\sqrt3}=\sqrt3-\sqrt2$.

Por lo tanto obtenemos $\sqrt2 $ y $\sqrt3$, y así $\mathbb Q(\sqrt2 +\sqrt3) =\mathbb Q(\sqrt2, \sqrt3)$.

Answer 2

Como dices, si $\alpha=\sqrt2+\sqrt3$ entonces $\alpha\in\Bbb Q(\sqrt2,\sqrt3)$. Se deduce que $\Bbb Q(\alpha)\subseteq\Bbb Q(\sqrt2,\sqrt3)$. ¿Podemos mostrar la igualdad? El campo $\Bbb Q(\sqrt2,\sqrt3)$ está generado sobre $\Bbb Q$ por $1$, $\sqrt2$, $\sqrt3$ y $\sqrt2\sqrt3=\sqrt6$. Tenemos $$\alpha^2=5+2\sqrt6$$ y $$\alpha^3=11\sqrt2+9\sqrt3.$$ Por lo tanto $\sqrt6=\frac12(\alpha^2-5)$, $\sqrt2=\frac12(\alpha^3-9\alpha)$ y $\sqrt3=-\frac12(\alpha^3-11\alpha)$ son todos elementos de $\Bbb Q(\alpha)$. Por lo tanto, $\Bbb Q(\alpha)=\Bbb Q(\sqrt2,\sqrt3)$.

Para demostrar que $|\Bbb Q(\sqrt2,\sqrt3):\Bbb Q|=4$, necesitamos $\sqrt3\notin \Bbb Q(\sqrt2)$. Para demostrar esto, asumimos $\sqrt3=a+b\sqrt2$ con $a$, $b\in \Bbb Q$ y llegamos a una contradicción de $(a+b\sqrt2)^2=3$.

Answer 3

Pista \begin{align*} x &= \sqrt{2}+\sqrt{3}\\ x - \sqrt{2}&=\sqrt{3}\\ (x - \sqrt{2})^2&=3\\ x^2-1&=2x\sqrt{2}\\ (x^2-1)^2&=8x^2\\ x^4-10x^2+1&=0. \end{align*}

Answer 4

Sea $w=\sqrt{2}+\sqrt{3}$. Notemos que $w^2=2\sqrt{6}+5$. Entonces $\frac{(w^2-5)^2}{4}=6$ está en $\mathbb{Q}$. Entonces el polinomio $f(X)=X^4-10X^2+1$ tiene a $w$ como una de sus raíces. Puedes factorizar $f$ linealmente con la sustitución $Y=X^2$. Así puedes obtener el polinomio minimal de $w$ a partir de $f$.