Función creciente en R que es discontinua en los racionales

Question

La pregunta (Folland del Análisis Real, 3.5.30) pide a producir un aumento de la función en $\mathbb{R}$ cuyo conjunto de discontinuidades es de los racionales. Mi tren de pensamiento es el siguiente:

Deje $f_0$ ser la identidad. Queremos crear un salto en cada número racional, manteniendo la función de aumento. Crear $f_1$ cortando $f_0$ a cada número entero, y reducir a la mitad la pendiente de cada segmento de línea resultante, la fijación de los extremos de la izquierda. Esto se traduce en una especie de inclinada de escalera que se sigue en aumento y discontinuo exactamente en los enteros. Dado $f_{n-1}$, creamos $f_n$ por corte de cada segmento de $f_{n-1}$ a $n$ partes y reducir a la mitad la pendiente de cada segmento resultante, de nuevo la fijación de los extremos de la izquierda. Nota: esto es equivalente a hacer recortes en todos los puntos racionales $\frac{m}{n!}$ a $n^\text{th}$ , $m$ e $n$ no necesariamente coprime.

El límite de dicha secuencia de funciones existe. Es fácil demostrar que el racional, el punto es, finalmente, un extremo izquierdo, y se mantiene fijo por todas las sucesivas funciones en la secuencia. Para un irracional punto de $x$ podemos hacer dos secuencias de $a_n$ e $b_n$ racionales de la convergencia de la izquierda y la derecha, respectivamente, de tal manera que $a_n=\frac{m}{n!}<x$ e $b_n=\frac{m+1}{n!}>x$. Dado $\epsilon$, se puede elegir el $N$ bastante grande con $a_N$ e $b_N$ en el mismo segmento de $f_{N-1}$ (de modo que el salto de la $f_{N-1}(a_N)$ a $f_{N-1}(b_N)$ es pequeña), con este salto de menos de $\epsilon$. Ya podemos determinar el valor de $f_n(x)$ entre arbitrariamente cerca de los valores, el límite de $f(x)=\lim_n f_n(x)$ existe.

Es claro que la función es discontinua en todos los racionales, ya que está construido para ser, y está en aumento ya que cada una de las $f_n$ es cada vez mayor.

Puedo decir que $f$ es continua en cada uno de los irracionales? Mi sensación es que, desde cualquier $\delta$-bola alrededor de un irracional contiene una racional a la izquierda y uno a la derecha, no podemos decir que necesariamente $f$ es continua allí. Sin embargo, sabemos por el teorema 3.23 en el libro que el conjunto de discontinuidades de una función creciente es contable. Hay una contradicción en algún lugar? Si es así, puede la construcción deben ser ajustados o es una construcción diferente necesarios?

Gracias.

Answer 1

Hay una manera más simple de la construcción:

Si tomamos una numeración $(q_n)_{n \in \mathbb{N}}$ de $\mathbb{Q}$, podemos definir $$f(x) := \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^k} 1_{[q_k, \infty)}(x).$$ La convergencia es uniforme y esta función es monótona creciente por la construcción. Desde todos los $1_{[q_n,\infty)}$ son continuas en todos los puntos de $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$, el limes es esto demasiado. (Si $x$ es irracional, entonces podemos tomar $\varepsilon >0$ tan pequeño que $(x-\varepsilon,x+\varepsilon)$ no contiene los puntos de $q_1,\ldots,q_n$. Por lo $|f(x)-f(y)| \le \sum_{k=n}^\infty 2^{-k} \le 2^{1-n}$.)

Fix $n$. Para cualquier $\max_{q_i < q_n,i=1,\ldots n} q_i < x < q_n < y < \max_{q_i > q_n,i =1 \ldots, n}$ q_i tenemos $f(x) + 2^{-n} \le f(y)$. Por lo tanto $f$ es discontinua en todo punto de a$\mathbb{Q}$.