¿Cómo mostrar que $\text{Hom}_R(A\times B ,M)\cong \text{Hom}_R(A,M)\times \text{Hom}_R(B,M) $ cuando $A, B$, y $M$ $R$-módulos?

Question

Estoy trabajando en el problema siguiente.

Deje $A,B$ e $M$ ser $R-$mudules. Mostrar que

(1) $\text{Hom }_R(A\times B,M)\cong \text{Hom }_R(A,M)\times \text{Hom }_R(B,M)$.

Para $(1)$, he construido un homomorphism $F:\operatorname{Hom}_R(A,M)\times \operatorname{Hom}_R(B,M)\rightarrow \operatorname{Hom}_R(A\times B,M)$ definido por $F(\varphi_1,\varphi_2)=\varphi_1+\varphi_2$.

Es bien definido desde $\varphi_1+\varphi_2=\psi_1+\psi_2$ siempre $(\varphi_1,\varphi_2)=(\psi_1,\psi_2)$.

También, es homomorphism ya, $\forall r\in R$ $\forall (\varphi_1,\varphi_2),(\psi_1,\psi_2)\in \operatorname{Hom}_R(A,M)\times \operatorname{Hom}_R(B,M)$,

\begin{align*} F((\varphi_1(a),\varphi_2(b))+r(\psi_1(a),\psi_2(b)))&=(\varphi_1(a)+r\psi_1(a))+(\varphi_2(b)+r\psi_2(b))\\ &=(\varphi_1(a)+\varphi_2(b))+r(\psi_1(a)+\psi_2(b))\\ &=F(\varphi_1(a),\varphi_2(b))+rF(\psi_1(a),\psi_2(b)). \end{align*}

$\forall (a,b)\in A\times B$.

Deje $\Phi\in \operatorname{Hom}_R(A\times B,M) $ se da y se nota que $\Phi(\cdot,0)\in \operatorname{Hom}_R(A,M)$ e $\Phi(0,\cdot)\in \operatorname{Hom}_R(B,M)$, y que para cualquier $(a,b)\in A\times B$,

\begin{align*} F(\Phi(a,0),\Phi(0,b))=\Phi(a,0)+\Phi(0,b)=\Phi(a,b). \end{align*}

Por lo tanto, $F$ es surjective.

Por lo tanto, sólo tengo que demostrar que es una inyección. Pero estoy teniendo problemas allí. Sólo quiero mostrar que $\ker(F)=0$ pero parece que hay tantos $\varphi\in \operatorname{Hom}_R(A,M)$ e $\psi\in \operatorname{Hom}_R(B,M)$ tal que $\varphi+\psi=0$. Debo cambiar el homomorphism que he construido? Parece que esta $F$ es sólo razonable...

Agradezco cualquier ayuda de antemano.

Answer 1

Definir la inclusión de mapas de $i_A:A\to A\times B$ por $i_A(a)=(a,0)$ e $i_B:B\to M$ por $i_B(b)=(0,b)$.

Como usted ha mencionado, estos son el módulo de homomorphisms.

Dado $f\in Hom(A\times B,M)$, Vamos A $F(f)=(f\circ i_A, f\circ i_B)$. Ya que ambos componentes son la composición de homomorphisms, cada componente es un homomorphism.

Dado $(\phi, \psi)\in Hom(A,M)\times Hom(B,M)$, definir $G(\phi,\psi)$ por $G(\phi,\psi)(a,b)=\phi(a)+\psi(b)$.

A continuación, $(G\circ F)(f)=G(f\circ i_A, f\circ i_B)=f\circ i_A + f\circ i_B$.

$(f\circ i_A + f\circ i_B)(a,b)=f\circ i_A(a)+f\circ i_B(b)=f(a,0)+f(0,b)=f(a,b)$.

Por lo tanto, $(G\circ F)(f)=f$.

$(F\circ G)(\phi,\psi)=F(\phi+\psi)=((\phi+\psi)i_A, ((\phi+\psi)i_B)$.

$(\phi+\psi)i_A(a)=(\phi+\psi)(a,0)=\phi(a)$.

Asimismo,$(\phi+\psi)i_B(b)=(\phi+\psi)(0,b)=\psi(b)$.

Para ello, $(F\circ G)(\phi,\psi)=(\phi, \psi)$.

Por lo tanto, $F$ e $G$ son inversos el uno del otro por lo que son isomorphisms.

Answer 2

Mostrando de inyectividad cantidades para mostrar que el inverso mapa está bien definido.

Deje $F^{-1}$ ser la inversa con $F(\phi) = (\phi_1, \phi_2)$ con $\phi_1(x)=\phi(x, 0)$ e $\phi_2(y) = \phi(0,y)$. Este mapa es obviousy bien definido, por lo $F$ es inyectiva.

Edit: me doy cuenta de que, asumiendo $F^{-1}$ existe es una petición de principio. Sin embargo, la proposición es más fácil probar que, en mi opinión, partiendo de lo que llamé $F^{-1}$.

Answer 3

El mapa está definiendo no tiene sentido. Usted no necesita preocuparse acerca de la bien definida-ness del mapa ya que no hay ninguna equivalencia de las relaciones en torno a ocultar las cosas. Lo que sea que definir que se asignan a ser en un elemento que, va a estar bien porque no se como hay un montón de representantes de ese elemento que podría cambiar la expresión en función de los que usted elija.

Más al punto, sin embargo, no tiene sentido a la forma de la suma de $\varphi_1 + \varphi_2$ cuando el dominio de $\varphi_1$ es $A$ y el dominio de $\varphi_2$ es $B$. Recuerde que además de las funciones que normalmente se define pointwise, que sólo puede tener sentido si esas funciones comparten el mismo dominio. Si desea combinar las dos funciones en una manera diferente que pointwise además, entonces usted necesita para indicar que, al no utilizar la adición de símbolos.

No voy a gastar un montón de tiempo en revisar ese argumento porque es un poco confuso y difícil de leer. Pero me pueden ayudar a guiarlo a través del proceso adecuado para mostrar la necesaria bijection. Dadas dos funciones $\phi_1: A \to M$ e $\phi_2: B \to M$, definir $f(\phi_1,\phi_2)$ a ser la función de $A \times B$ a $M$ definido por $f(\phi_1,\phi_2)(a,b) = \phi_1(a)+\phi_2(b)$. Tenga en cuenta que esto es no un pointwise suma, y no hay necesidad de argumentar sobre el bien definedness.

Ahora solo falta que presentan una relación inversa mapa para $f$. En este caso, esto será más pulido que tratando de argumentar a favor de inyectividad y surjectivity de $f$ directamente. Dada una función de $\phi: A \times B \to M$, definimos $\phi_1(a) = \phi(a,0)$ e $\phi_2(b) = \phi(0,b)$ para todos los $a \in A$, $b \in B$. A continuación, definimos $g(\phi)$ a ser el par ordenado $(\phi_1,\phi_2) \in \operatorname{Hom}_R(A,M) \times \operatorname{Hom}_R(B,M)$. Entonces tenemos que $g(f(\phi_1,\phi_2) = g(\phi) = (\phi_1,\phi_2)$ e $f(g(\phi)) = f(\phi_1,\phi_2) = \phi$ y por lo tanto estos mapas realmente son inversos el uno del otro. Por lo tanto, hemos terminado.