los números primos representado íntegramente por un homogénea de la forma cúbica

Question

Vencido por esta pregunta Muestran determinante de la matriz es distinto de cero me siento impulsado a preguntar:

Dado enteros $a,b,c,$ y de forma cúbica $$ f(a,b,c) = a^3+2 b^3-6 a b c+4 c^3 = \left|\begin{bmatrix} a & 2c & 2b\\b & a & 2c\\ c & b & a\end{bmatrix}\right|, $$ lo de los números primos $p$ puede ser integralmente representado como $$ p = f(a,b,c)? $$

I think it is $3,$ all primes $p \equiv 2 \pmod 3,$ and all $p = u^2 + 27 v^2$ in integers, but not any $q = 4 u^2 + 2 u v + 7 v^2.$ I checked for $p < 10000.$

Note that, if $-p$ is represented, so is $p.$

Although it does not finish things, note that if $f$ integrally represents both $m,n$ then it represents $mn.$ That is because $f(a,b,c) = \det(aI + b X + c X^2),$ donde $$ X = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 2\\1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\end{bmatrix}. $$ Then $X^3 = 2 I$ and $X^4 = 2 X.$

I once asked a guy at MSRI about pretty much the same problem, only instead of the important polynomial being $\lambda^3 - 2$ it was $\lambda^3 - \lambda^2 - \lambda - 1.$ La frase de la norma formas se acercó, y él se reía de mí.

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

   p           a           b           c
   2           0           1           0
   3          -1           0           1
   5           1           0           1
  11          -1           1           1
  17          -1          -1           2
  23           1           1           2
  29          -3          10          -6
  31          -1          26         -20
  41           1          -2           2
  43           1          -1           2
  47          -1           4          -2
  53           1          -4           3
  59           1           3          -2
  71          -1           2           2
  83           3           1           3
  89           1           2           3
 101           3          -7           4
 107          -1           0           3
 109           1         -12           9
 113           1           4           2
 127          -1          16         -12
 131           3           3          -1
 137          -3           1           3
 149           1           4          -1
 157          -1           5          -2
 167          -3           3           2
 173          -3           7          -3
 179           1         -31          24
 191          -1          -2           4
 197           5           2          -1
 223           1           5           2
 227           3          -2           3
 229          -1          -1           4
 233           1           5          -3
 239           1           3           4
 251          -1          -4           5
 257           1           0           4
 263           3           4          -3
 269          -1           9          -6
 277           1           5          -1
 281          -1           1           4
 283          -1           8          -5
 293           1          -9           7
 307          -1           4           3
 311           3           3           5
 317          -3           5           1
 347           3         -12           8
 353           3          -1           4
 359          -5          23         -15
 383          -5          28         -19
 389          -3           2           4
 397           1           7          -5
 401           1          -5           5
 419           3           6           5
 431           1          -7           6
 433          -1          -5           6
 439           3           1           5
 443           3          -4           4
 449           1           8          -6
 457           1           2           5
 461           5           4          -2
 467          -1          -1           5
 479          -1           4           4
 491           3          18         -16
 499          -1           0           5
 503           5           3           6
 509           1           4           5
 521           5           5          -1
 557          -1          89         -70
 563           3           6          -1
 569          -1           7          -2
 587           3           4           6
 593          -7           2           5
 599           1           7          -4
 601           1         -22          17
 617          -5         -59          50
 641           3          23         -20
 643          -1           3           5
 647          -1          14         -10
 653           1          16         -13
 659           3         -10           7
 677          -1         -11          10
 683          -5           5           3
 691           3          -2           5
 701          -1          -3           6
 719           5           5          -4
 727           3          -5           5
 733           3           9          -8
 739           1           7          -2
 743           3          -3           5
 761           1         -14          11
 773           5          -1           5
 797          -3           3           5
 809           1           2           6
 811           1           3           6
 821           3           7           6
 827          -1          11          -7
 839          -3           5           4
 857          -9           5           4
 863          -1           0           6
 881           1          -4           6
 887           7           3           7
 911          -1          -5           7
 919          -1           7           3
 929           9           2          -2
 941           9           3          -1
 947          -3           1           6
 953          -7          26         -16
 971          -1           8          -1
 977           1           7           5
 983           3           7          -3
 997           3         -11           8

=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=

Answer 1

El discriminante de $\Bbb Q \subset \Bbb Q(\sqrt[3]2)$$-108$, y la de Minkowski obligado para esta extensión es $\frac {3!}{3^3} \frac 4 \pi \sqrt {108} \approx 2.940$. Así que para demostrar que este campo número de cuenta de la clase de número de $1$ sólo tenemos que encontrar una manera para representar a $2$, e $2$ es, de hecho, representada por $(0,1,0)$. Por lo tanto $p$ es representado por esta norma forma si y sólo si el ideal $(p)$ tiene un ideal del factor de norma $p$, lo que sucede si y sólo si $2$ es un cubo modulo $p$.

Si $p \equiv 2 \pmod 3$, entonces cualquier elemento distinto de cero de a $\Bbb F_p$ tiene una raíz cúbica en $\Bbb F_p$ y dos raíces cúbicas en $\Bbb F_p^2$, lo $2$ es un cubo modulo $p$.

Si $p \equiv 1 \pmod 3$ $(p)$ se divide en $\Bbb Q(\zeta_3)$, e $2$ es un cubo si y sólo más divisiones en $\Bbb Q(\zeta_3,\sqrt[3]2)$. Desde $\Bbb Q(\zeta_3) \subset \Bbb Q(\zeta_3,\sqrt[3]2)$ es un abelian de extensión, es un rayo de campo de clase para algunos el módulo de $\mathfrak m$$\Bbb Q(\zeta_3)$.

De trabajo modulo $6$,$(a+b\zeta_3)^3 = (a^3+b^3) - 3ab^2+3ab(a-b)\zeta_3 = a^3 + b^3-3ab^2 \in \Bbb Z/6 \Bbb Z$, y así para cualquier $a,b,c \in \Bbb Z[\zeta_3]$, $a^3+2b^3+4c^3-6abc = a^3+2b^3+4c^3 \in \Bbb Z/6\Bbb Z$. Así, las normas que se coprime a $6$ son unidades de ($\pm 1$) modulo $6$. Por lo $\Bbb Q(\zeta_3,\sqrt[3]2)$ es una extensión de la ray campo de la clase de módulo de $(6)$$\Bbb Q(\zeta_3)$.

Por otro lado, $G = (\Bbb Z[\zeta_3]/(6))^*/\langle \overline{\zeta_6} \rangle$ es isomorfo a $\Bbb Z/3 \Bbb Z$, que es el grupo de Galois de la extensión de $\Bbb Q(\zeta_3) \subset \Bbb Q(\zeta_3,\sqrt[3]2)$, lo $\mathfrak m = (6)$, e $2$ es un cubo modulo $p$ si y sólo si $p \equiv 2 \mod 3$ o $p = a^2-ab+b^2$ donde $a+\zeta_3 b$ es congruente modulo $6$ a uno de $\{1,1+\zeta_3,\zeta_3,-1,-1- \zeta_3,- \zeta_3\}$.

Cada elemento de a $G$ (modulo complejo conjugación) corresponde a una clase de la primitiva binario cuadráticas formas de discriminante $-108$, o el correspondiente de la celosía de la clase (módulo de la multiplicación por una unidad compleja y conjugación) cuya endomorfismo anillo es $\Bbb Z[3\sqrt{-3}]$:

$\Lambda = \langle 1, 3\sqrt{-3} \rangle$ es una red correspondiente para el elemento neutro de $G$ : $(6)$ y el número coprime con $(6)$ cumple con todos caen en el neutro de la clase.
mientras que $\Lambda = \langle 2, \frac {1+3\sqrt{-3}}2 \rangle$ corresponde a las otras dos clases : contiene $(6)$ y el número coprime con $(6)$ cumple con todos caen en las otras dos clases.

Así que si $p \equiv 1 \pmod 3$, $p$ es representado como $a^2 + 27b^2$ (al $2$ es un cubo) o $4u^2 \pm 2uv + 7v^2$ (al $2$ no es un cubo), y nunca los dos al mismo tiempo.