Obtención de la secuencia $\{1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, \ldots\}$ ¿sin trigonometría?

Question

¿Cuál es la forma más sencilla de escribir una función que dé salida a la secuencia:

{1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, ...}

... sin utilizar ninguna función trigonométrica?

Pude llegar a una secuencia muy compleja que implica -1 a alguna fórmula complicada, pero esperaba que hubiera una solución más sencilla.

$n$ debería empezar en 0 e ir hasta el infinito.

Actualización:

¡Todas las soluciones que habéis aportado son geniales! No sabía que hubiera tantas. Debería haber mencionado que prefiero una solución que no utilice recursión; números imaginarios; matrices; funciones con if o funciones como ceil , floor o mod . Estoy buscando algo que utilice álgebra básica: suma/resta, multiplicación/división, exponentes, etc. Sin embargo, aceptaré cualquier cosa ya que no incluí esta cláusula originalmente.

Esto es lo que se me ocurrió:

$$a_n=\frac{\left(-1\right)^n+1}{2}\cdot \left(-1\right)^{\left(\frac{n}{2}-\frac{\left(-1\right)^{n+1}+1}{4}\right)}$$

¿Existe una forma menos complicada (es decir, con menos términos) de obtener esta misma secuencia?

Answer 1

Intentemos también : $|n \bmod 4-2|-1$

Answer 2

¿Qué tal si $\dfrac{i^n + (-i)^n}{2}$ ? (Por supuesto, podría decirse que es sólo trigonometría disfrazada).

O como una recurrencia: $a_n = -a_{n-2}$ con $(a_0,a_1)=(1,0)$ .

O $\begin{bmatrix}1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}^n\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}$ ? (Lo que puede ser visto como una versión mejor disfrazada de o bien de las dos sugerencias anteriores).

Answer 3

Que esto sea más sencillo dependerá de lo que se quiera decir exactamente, pero lo siguiente es una descripción bastante simple. Es ciertamente más simple que cualquier cosa que implique funciones trigonométricas.

$$a_n=\begin{cases} 0 & \text{if n is odd} \\ 1 & \text{if n is divisible by 4} \\ -1 & \text{otherwise} \end{cases}$$

Answer 4

¿Qué podría ser más fácil que $\Re(i^n)$ , $n=0,1,\ldots$ ?

Answer 5

$$\frac{1}{2} \left((-1)^{(n-1) n/2}+(-1)^{n (n+1)/2}\right)$$