Conexión entre el MCD y el LCM de dos números

Question

Estos dos ejercicios que me encontré recientemente parecen desarrollar algún tipo de conexión entre el MCD y el MCM no puedo entender.

Ejercicio 1:

Encontrar todos los números de $x$ e $y$ tal forma que:

$a) \ GCD(x,y)=15, \ LCM(x,y)=150$ $b) \ GCD(x,y)=120 \ LCM(x,y)=1320$ $c) \ GCD(x,y)=100 \ LCM(x,y)=990$

Ejercicio 2:

Encontrar todos los números de $m,n$ tal que $GCD(m,n)=pq , \ LCM(m,n)=p^2qs$

donde $p,q,s$ son los principales

La primera cosa que es conocido para mí es que $GCD(x,y) \cdot LCM(x,y)= x \cdot y$

También se $LCM(x,y)$ es en la mayoría de las $x \cdot y$ mientras $GCD(x,y)$ es en la mayoría de las $\max \{x,y\}$. Lo último es que $GCD(x,y)|LCM(x,y)$.

Utilizando toda esta traté de resolver el primer ejercicio:

$a)$ Dos primeros obvio que los pares son $x=15, y=150$ e $y=15, x=150$. Ahora ninguno de los números puede ser más grande que $150$ o más pequeña de lo $15$. Por lo que estamos buscando números en el rango de $15-150$ que satisfacer $x \cdot y = 15 \cdot 150$ Otro par es $(x,y)=(30,75), \ (x,y)=(75,30)$.

Asimismo, para $b)$ encontramos que los únicos valores posibles son permutaciones del conjunto {$120,1320$} y en $c)$ desde $100$ no divide $990$ no hay tales números que existen.

Ahora el ejercicio 2 es lo que me hizo pensar que en realidad hay otra conexión que yo no soy muy consciente de que desde ahora se trata de arbitraria de números primos y el método anterior no funciona más. Mi intuición es que tiene algo que ver con $GCD$ o $LCM$ de la $GCD(x,y), \ LCM(x,y)$

Answer 1

<span class="math-container">$\begin{align}{\bf Hint}\ \ &\gcd(X,Y) = d,\ \ \ {\rm lcm}(X,Y) = m \ \ \ \text{yields by cancelling %#%#%}\[.3em] \iff\ &\gcd(x,\,y)\ \ = 1,\qquad\ \ \, x\cdot y\ =\, m/d,\ \ {\rm for}\ \ x = X/d,\,\ y = Y/d \end {Alinee el} $</span>

<span class="math-container">$\begin{align}{\rm e.g.}\ \ \ &\gcd(X,Y) = 15,\ \, {\rm lcm}(X,Y) = 150\[.3em] \iff\ &\gcd(x,\,y)\ \ =\ 1,\qquad\ \ \, x\cdot y\,\ =\,\ 10 \end {Alinee el} $</span>

Este método rápidamente y simplemente soluciona todos ellos. Cancelar para reducir en el caso de coprimos , es una forma común de simplificar problemas de divisibilidad homogénea .

Answer 2

Si tiene dos números con el primer factorizations

$$x = p_1^{a_1}p_2^{a_2}p_3^{a_3}\cdots p_n^{a_n}$$ $$y = p_1^{b_1}p_2^{b_2}p_3^{b_3}\cdots p_n^{b_n}$$

entonces

$$GCD(x,y) = p_1^{min(a_1, b_1)}p_2^{min(a_2, b_2)}p_3^{min(a_3, b_3)}\cdots p_n^{min(a_n, b_n)}$$

y

$$LCM(x,y) = p_1^{max(a_1, b_1)}p_2^{max(a_2, b_2)}p_3^{max(a_3, b_3)}\cdots p_n^{max(a_n, b_n)}$$

donde $min(a,b)$ e $max(a,b)$ son el mínimo y el máximo de $a$ e $b$, respectivamente.

¿Esta ayuda?

Answer 3

Aquí es pertinente:

Que <span class="math-container">$d=gcd(a,b)$</span> y <span class="math-container">$m=lcm(a,b)$</span>. Entonces <span class="math-container">$v_p(d)=\min(v_p(a),v_p(b))$</span> y <span class="math-container">$v_p(m)=\max(v_p(a),v_p(b))$</span>.

Aquí, <span class="math-container">$v_p(n)$</span> es el exponente del primer en la factorización de <span class="math-container">$p$</span> <span class="math-container">$n$</span> .