¿Esta matriz específica de SO (4) tiene que ser diagonal a bloques?

Question

Así que tengo un específico real $4\times4$ matriz $\mathbf{P}$ dada por \begin{align} \mathbf{P}= \begin{pmatrix} p_{11} & -p_{21} & p_{13} &-p_{23}\\ p_{21} & p_{11} & p_{23} & p_{13}\\p_{31} & -p_{41}& p_{33} & -p_{43}\\p_{41} & p_{31} & p_{43} & p_{33}. \end{pmatrix}, \end{align} y estoy seguro de que si esta matriz es en $SO(4)$ a continuación, se debe bloque-diagonal O anti-bloque-diagonal, es decir, si $\mathbf{P}\in SO(4)$ entonces $p_{11}=p_{21}=p_{33}=p_{43}=0$ o $p_{13}=p_{23}=p_{31}=p_{41}=0$, pero me parece que no puede mostrar esta...

He intentado seleccionar una columna y la generación de un conjunto de vectores ortonormales para llenar la matriz, pero esto sólo da ejemplos en los que funciona y me gustaría mostrar lo general. Es esto posible? Solo estoy perdiendo algo trivial aquí?

Answer 1

Saltar al final de la gran revelación, o leer a través de este para el "cómo llegué allí" versión.

Vamos a reescribir la que como \begin{align} \mathbf{P}= \begin{pmatrix} a & -b & p &-q\\ b & a & q & p\\ c & -d& r & -s\\ d & c & s & r. \end{pmatrix}, \end{align}

Ortogonalidad de la primera y tercera y primera y 4 de columnas nos dice que \begin{align} ap + bq + cr + ds &= 0\\ -aq + bp - cs + dr &= 0\\ \end{align} Multiplica para obtener \begin{align} apq + bq^2 + crq + dsq &= 0 \\ -apq + bp^2 - cps + dpr &= 0\\ \end{align} y los suma para obtener \begin{align} b(p^2 + q^2) + crq - cps + dsq + dpr &= 0 \\ \end{align} Haciendo lo mismo para las columnas 2 contra 3 y 4 da \begin{align} a(p^2 + q^2) - drq + csq + dps + cpr &= 0 \\ \end{align} Vamos factor de aquellos para obtener \begin{align} b(p^2 + q^2) + c(rq - ps) + d(sq + pr) &= 0 \\ a(p^2 + q^2) + c(sq + pr) - d(rq - ps) &= 0 \\ \end{align} Mirando el producto escalar entre las filas 2 y 3, vemos que $$ rq - ps = ad - bc $$ y del mismo modo, para las filas 2 y 4, obtenemos $$ qs + pr = - (ac + bd) $$ así \begin{align} b(p^2 + q^2) + c(ad-bc) - d(ac + bd) &= 0 \\ a(p^2 + q^2) - c(ac + bd) - d(ad-bc) &= 0 \\ \end{align} que se simplifica a \begin{align} b(p^2 + q^2) - bc^2 - bd^2 &= 0 \\ a(p^2 + q^2) - ac^2 - ad^2 &= 0 \\ \end{align} que se convierten en \begin{align} b(p^2 + q^2 - c^2 - d^2) &= 0 \\ a(p^2 + q^2 - c^2 - d^2) &= 0 \\ \end{align}

Llegamos a la conclusión de que, o bien (1) $p^2 + q^2 = c^2 + d^2$o (2) $a = b = 0$.

En el segundo caso, tenemos que el cuadrado de la norma de la primera fila es $p^2 + q^2$, el cual debe ser $1$, y el cuadrado de la norma de la primera columna es $c^2 + d^2$, lo que también debe ser $1$, por lo tanto $p^2 + q^2 = c^2 + d^2$.

En otras palabras, en todos los casos, $p^2 + q^2 = c^2 + d^2$.

Mirando los cuadrados de las normas de la primera fila y la 4ª columna, nos encontramos con que $$ a^2 + b^2 = r^2 + s^2 $$ así.

Pero nada más obvia parece saltar...

...y así empecé a preguntarme si realmente era cierto, y me encontré con esto:

\begin{align} \mathbf{P}= \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0 &-s\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & s & 0\\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}& 0 & s\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & -s & 0 \end{pmatrix}, \end{align} donde $s = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Que parece ser un contraejemplo a tu conjetura. Así que supongo que la respuesta a su pregunta es "Sí, sólo falta algo trivial." :)