Resolviendo

Question

¿Cómo se resuelve esta ecuación?

<span class="math-container">$$\sin^2 x +1=2x$$</span>

No tengo ni idea de cómo atacar el problema.

¡Gracias!

Answer 1

$$1\le 1+\sin^2(x)\le 2\implies \frac 12\le x\le 1.$$ la función $$f:x\mapsto \sin^2(x)+1-2x$$ es continua en a$[\frac 12,1],$

$$f(\frac 12)>0\; \; f(1)<0,$$ y

$$f'(x)=\sin(2x)-2<0.$$

Por IVT, no hay una única solución $\alpha$ en $]\frac 12,1[$.

$$\alpha=\lim_{n\to+\infty}u_n$$

con $$u_0=1$$ y $$u_{n+1}=u_n-\frac{f(u_n)}{f'(u_n)}$$

Este método numérico es conocido como el de Newton-Raphson.

Answer 2

Una vez que está demostrado que el $f(x)=\sin^2(x)-2x+1$ tiene un único cero real en el intervalo de $[0,\pi/4]$, su determinación numérica es sencillo ya que se $f(x)$ es positivo y convexa de la función en $(0,\pi/4)$ (debido a la $f''(x)>0$), por lo tanto, aplicando el método de Newton con el punto de partida $x=0$ tenemos

$$ \rho \approx 0.714836$$ en sólo cuatro pasos.

Answer 3

Apenas para la diversión de la aproximación.

El uso de la doble ángulo fórmula Reescribir la ecuación como $$\cos(2x)+4x=3$$ Now, let $t=2x$ para hacer que la ecuación $$\cos(t)+2t=3$$ Ahora, usando la aproximación $$\cos(t) \simeq\frac{\pi ^2-4t^2}{\pi ^2+t^2}\qquad (-\frac \pi 2 \leq t\leq\frac \pi 2)$$ obtenemos la ecuación cúbica $$2 t^3-7 t^2+2 \pi ^2 t-2 \pi ^2=0$$ which has only one real root. Using the hyperbolic solution for one real root, the result is really ugly but it evaluates as $t\aprox 1.428167$ that is to say $x\aprox 0.714083$ while the "exact" solution is $x\aprox 0.714836$.

Incluso podemos hacer mejor la construcción de la $[2,2]$ Padé approximant alrededor de $x=\frac \pi 4$ $$\cos(2x)+4x-3=\frac{(\pi -3)+2 \left(x-\frac{\pi }{4}\right)+\left(2-\frac{2 \pi }{3}\right) \left(x-\frac{\pi }{4}\right)^2 } {1-\frac{2}{3} \left(x-\frac{\pi }{4}\right)^2 }$$ la Solución de la ecuación cuadrática $$x=\frac \pi 4+\frac{6-\sqrt{252-144 \pi +24 \pi ^2}}{4 \pi -12}\approx 0.714837$$

Para evitar incluso la solución de la ecuación cuadrática, la construcción de lugar de la $[1,3]$ Padé approximant alrededor de $x=\frac \pi 4$ llevaría a $$x=\frac \pi 4 -\frac{(\pi -3) \left(15-6 \pi +\pi ^2\right)}{4 \left(12-6 \pi +\pi ^2\right)}\approx 0.714837$$

Answer 4

No hay ninguna solución en términos de funciones elementales - se puede resolver sólo por un algoritmo numérico. No es el método de Newton - la 'goto' método; pero, posiblemente, no es un algoritmo particular para este que converge particularmente rápido. Algoritmos numéricos es una muy muy desarrollado el área de matemáticas, y para los distintos problemas algoritmos numéricos existen que convergen realmente increíblemente rápido! El que mencioné - Newtons - converge muy rápido en casi todas las aplicaciones de ... y para la gran mayoría de problemas que usted puede hacer a menos que bien.