Ejercicios de resolución sobre números complejos.

Question

¿Cómo resuelvo esta ecuación en el campo de los números complejos ?: $$|z|^2 - z|z| + z = 0 $ $ Mis soluciones son: $$z_1 = 0$ $ $$z_2 = -1$ $

Answer 1

$$z=\dfrac{|z|^2}{|z|-1}$ $ que es real

Si $z>0,|z|=+z$% $$0=z^2-z^2+z\iff z=0$$ que es insostenible

Si $z\le0,|z|=-z$ $$0=z^2+z^2+z=z(2z+1)$% $

Answer 2

Observar que $z=0$ es una solución de la ecuación

$$|z|^2 - z|z| + z = 0.$$

( $z=-1$ no es una solución !)

Por lo tanto, vamos a $z \ne 0$ ser una más de la solución de esta ecuación. Tenemos , desde $|z|^2=z \overline{z}:$

$\overline{z}-|z|+1=0$. Esto le da a $\overline{z}=|z|-1 \in \mathbb R$.Por lo tanto

$z=|z|-1 \in \mathbb R$.

Si $z>0$ , tenemos $z=z-1$, lo cual es imposible. Por lo tanto $z<0$ y, a continuación, $z=-1/2$.

Answer 3

WLOG $z=r(\cos t+i\sin t)$ donde $r>0,t$ son reales

$$r(r-r(\cos t+i\sin t)+(\cos t+i\sin t))=0$$

Si $r\ne0,$ equiparación de la real y la imaginaria

$r-r\cos t+\cos t=0=(1-r)\sin t$

Caso $\#1:$

Si $r=1,1=0$ que es insostenible

Si $\sin t=0,$

Caso $\#2A:\cos t=1,r=0$ que es insostenible

Caso $\#2A:\cos t=-1,r+r-1=0\iff r=?$

Answer 4

También puede proceder como sigue:

• Reescribir la ecuación de <span class="math-container">$$|z|^2 - z|z| + z = 0 \Leftrightarrow \boxed{|z|^2 = z(|z|-1)}$ $</span>
• Por lo tanto, <span class="math-container">$\color{blue}{z}$</span> debe ser <span class="math-container">$\color{blue}{\mbox{real}}$</span> y por eso tenemos <span class="math-container">$\color{blue}{|z|^2 = z^2}$</span>.
• Tomando nota de la solución de <span class="math-container">$\boxed{z = 0}$</span> obtenemos <span class="math-container">$$|z|^2 = z(|z|-1) \stackrel{z \in \mathbb{R}, z \neq 0}{\Leftrightarrow}z = |z|-1 \Rightarrow \boxed{z = -\frac{1}{2}}$ $</span>

Answer 5

Deje $r = e^{i\theta}$.

Llegamos $r^2 - re^{i\theta}\cdot r + re^{i\theta} = 0$.

Factorizar, obtenemos $r = 0$, dando a $z = 0$ como una solución, o:

$r - re^{i\theta} + e^{i\theta} = 0$

$e^{i\theta} = \frac{r}{r-1}$

A partir de la última ecuación, la magnitud de la LHS es igual a uno. A partir de los HR, $e^{i\theta} \in \mathbb{R}$. Por lo tanto $e^{i\theta} = \pm 1$.

$\frac{r}{r-1} = 1$ da ninguna solución, sino $\frac{r}{r-1} = -1 \implies r = \frac 12$. Desde $e^{i\theta} = -1$ que da $z = -\frac 12$.

Por lo tanto las dos soluciones son $z = 0$ e $z = -\frac 12$.