Para hacer las cosas precisas, cuando $|I| = \infty$, podemos redefinir el valor de $S(I)$ como $+\infty$ e $e^{-\sqrt{S(I)}} = 0$.
Después de este cambio, el sumando en el interior de la suma de $\sum\limits_{I\subset \mathbb{N}} e^{-\sqrt{S(I)}}$ va a ser distinto de cero para countably muchos $I$. Dado que todos los sumandos son no negativos, la suma está bien definido y toma valor en $[0,\infty]$. Además, se puede calcular mediante la enumeración de los $I$ con $|I| < \infty$ en orden arbitrario y obtener el mismo resultado. Como resultado,
$$\begin{align}\sum_{I\subset \mathbb{N}} e^{-\sqrt{S(I)}}
\stackrel{def}{=} \sum_{I\subset \mathbb{N}, |I| < \infty} e^{-\sqrt{S(I)}}
&= 2\sum_{I\subset \mathbb{Z}_{+}, |I| < \infty} e^{-\sqrt{S(I)}}
= 2\sum_{n=0}^\infty \sum_{I \subset \mathbb{Z}_{+}, S(I) = n} e^{-\sqrt{n}}\\
&= 2\sum_{n=0}^\infty q(n) e^{-\sqrt{n}}
\end{align}
$$
donde $q(n) = | \{ I \subset \mathbb{Z}_{+} : S(I) = n \} |$ es el número de particiones
de entero $n$ en distintas partes.
La OGF de $q(n)$ es igual a
$$\sum_{n=0}^\infty q(n) z^n = \prod_{k=1}^\infty ( 1 + z^k )$$
La forma cerrada de $q(n)$ no se conoce. Sin embargo, sabemos por grandes $n$,${}^{\color{blue}{[1]}}$
$$q(n) \sim \frac{3^{3/4}}{12 n^{3/4}} \exp\left(\pi\sqrt{\frac{n}{3}}\right) $$
Desde $\alpha \stackrel{def}{=} \frac{\pi}{\sqrt{3}} - 1 > 0$, el sub-suma de los $I$ con $S(I) = n$ estalla como $e^{\alpha\sqrt{n}}$. A partir de esto, podemos deducir
$$\sum_{I\subset \mathbb{N}} e^{-\sqrt{S(I)}} = \infty$$
Refs
- $\color{blue}{[1]}$-
Philippe Flajolet, Robert Sedgewick
La Analítica De La Combinatoria,
Cambridge University Press; (1ª ed., 2009). Fórmula encontrar en la VIII.6 Silla punto asymptotics / Entero particiones.
