$\lim\limits_{x\to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$ ?

Question

$$\lim_{x\to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$$

Solución

\begin {align} \lim_ {x \to 0} \frac { \tan x - \sin x}{x^3}&= \\ &= \lim_ {x \to 0} \frac { \tan x}{x^3} - \lim_ {x \to 0} \frac { \sin x}{x^3} \\ &= \lim_ {x \to 0} \frac { \tan x}{x} \lim_ {x \to 0} \frac {1}{x^2} - \lim_ {x \to 0} \frac { \sin x}{x} \lim_ {x \to 0} \frac {1}{x^2} \\ &= \lim_ {x \to 0} \frac {1}{x^2} - \lim_ {x \to 0} \frac {1}{x^2} \\ &= \lim_ {x \to 0} \frac {1}{x^2} - \frac {1}{x^2} \\ &=0 \end {align}

Pero la respuesta es $\dfrac{1}{2}$ por la regla de L'Hopital.

Answer 1

Esto es sólo otra forma de decir lo que los otros te dijeron.

$$\lim_{x\to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} \ne \lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{x^3} - \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x^3}$$

El teorema es SI $\displaystyle \lim_{x\to 0}f(x) = L$ y $\displaystyle \lim_{x\to 0}g(x)=M$ , donde $M, N \in \mathbb R$ , ENTONCES $\displaystyle \lim_{x\to 0}(f(x)-g(x))=L-M$

Pero, como $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\tan x}{x^3} = \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x^3} = \infty$ entonces el teorema no se aplica.

Este límite puede evaluarse sin recurrir a L'Hospital.

\begin {align} \frac { \tan x - \sin x}{x^3} &= \frac { \frac { \sin x}{ \cos x} - \sin x}{x^3} \\ &= \frac { \sin x - \sin x \cos x}{x^3 \cos x} \\ &= \frac {1}{ \cos x} \cdot\frac { \sin x}{x} \cdot \frac {1 - \cos x}{x^2} \\ &= \frac {1}{ \cos x} \cdot\frac { \sin x}{x} \cdot \frac {2 \sin ^2( \frac 12x)}{x^2} \\ &= \frac {1}{ \cos x} \cdot\frac { \sin x}{x} \cdot \frac 12 \cdot \left ( \frac { \sin \frac x2}{ \frac x2} \right )^2 \\ \end {align}

que se acerca a $\dfrac 12$ como $x$ se acerca a $0$ .

Answer 2

No sé si hay errores posteriores o no, pero creo que hay un error en la primera ecuación. $ \lim\limits_{x \to 0}\big( f(x) - g(x)\big)$ no siempre es igual a $ \lim\limits_{x \to 0} f(x) - \lim\limits_{x \to 0} g(x)$ .

Answer 3

Su problema surge del hecho de que utilizó $\color{red}{\lim_\limits{x \to 0} \frac{1}{x^2}}$ que no tiene ningún valor definido finito. Al final, se llega a una forma indeterminada $\color{red}{\infty-\infty}$ ...

Sólo se puede dividir un límite inicial en un producto si los límites individuales están definidos.

Answer 4

Otra forma de evaluación puede ser el uso de la expansión de Taylor Maclurin de $tan x$ y $sin x$ .

Tenemos

$$\lim_{x \to 0} \tan x= \frac{x}{1} +\frac{x^{3}}{3} +\frac{2x^{5}}{15} + . . .$$

$$\lim_{x \to 0} \sin x= \frac{x}{1} - \frac{x^{3}}{6} +\frac{x^{5}}{120} + . . .$$

Por lo tanto, la expresión se convierte en,

$$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{1} +\frac{x^{3}}{3} +\frac{2x^{5}}{15} + . . . - (\frac{x}{1} - \frac{x^{3}}{6} +\frac{x^{5}}{120} + . . .)}{x^{3}}$$

Cancelar el $x$ y luego aplicar el límite después de dividir el numerador por $x^{3}$ . La expresión se simplifica al cálculo de la suma de $\frac{1}{3}$ y $\frac{1}{6}$ que es $\color{red} {\frac{1}{2}}$

Answer 5

No lo hagas Intenta tomar el límite de cada uno por separado & entonces toma la diferencia - ¡sólo obtienes la diferencia entre dos infinitos! Expresa $\sin$ & $\tan$ como series de Taylor - cada una tiene el primer término en $\theta^1$ con el coeficiente 1, por lo que en la diferencia cae. Si se traza $\sin\theta-\tan\theta$ parece una cúbica en el origen. Entonces, si se divide que serie de $\theta^3$ y se obtiene una serie con un término inicial en $\theta^0$ , es decir, un constante término. (Esto se muestra en los gráficos: si se traza la curva que acabamos de describir, ÷por $\theta^3$ comienza en algún lugar de la y -eje en lugar de en el origen). Esto es entonces todo lo que queda como $\theta\rightarrow 0$ . Eso equivale a trazar la trama que acabo de describir entre paréntesis hasta su punto de intersección con el y -eje.

Para realmente Consigue la respuesta inmediatamente sólo hay que restar el coeficiente de $\theta^3$ en la serie para $\sin\theta$ de eso en que para $\tan\theta$ Y se obtiene 1/3 - -1/6 = 1/2.