¿Por qué una operación no conmutativa debería llamarse "multiplicación"?

Question

Según mis conocimientos y lo que me enseñaron en la escuela,

$a\times b$ es $a$ veces $b$ o $b$ veces $a$

Obviamente esto es conmutativo ya que $a$ veces $b$ y $b$ veces $a$ son la misma cosa. Por otro lado hay multiplicaciones como multiplicación vectorial y multiplicación de matrices que no son conmutativos.

¿Qué significa la multiplicación en general, para estos? O ¿debería llamarse incluso multiplicación?

Answer 1

Los términos matemáticos no tienen necesariamente definiciones absolutas y universales. El contexto es muy importante. Es habitual que un término tenga significados similares pero no idénticos en múltiples contextos, pero también es habitual que el significado difiera considerablemente. Incluso puede diferir de un autor a otro en el mismo contexto. Para estar seguro del significado, hay que comprobar la definición del autor.

Podría ser tentador exigir que la multiplicación sea conmutativa y que se utilice otro término cuando no lo sea, pero eso rompería algunos patrones agradables como los números reales, a los números complejos, a los cuaterniones.

En el día a día, la multiplicación es conmutativa, pero sólo porque se trata de números reales. A medida que vayas profundizando en las matemáticas, tendrás que desaprender esta suposición. Es muy frecuente que algo llamado multiplicación no sea conmutativo.

Answer 2

En la escuela también habrás aprendido que la multiplicación o la suma se definen para los "números", pero los vectores, las matrices y las funciones no son números, ¿por qué deberían poder sumarse o multiplicarse para empezar?

Resulta que los sonidos y las letras forman palabras que utilizamos en contexto para transmitir información, normalmente de forma concisa.

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En la escuela, por ejemplo, la mayor parte de la educación matemática versa sobre los números reales, tal vez un poco sobre los números complejos. Tal vez incluso aprendiste a derivar una función.

Pero ¿se te ha ocurrido que hay funciones de $\Bbb R$ a sí mismo de manera que para cada $a<b$ la imagen de la función en $(a,b)$ es el conjunto de los números reales?

Si todas las funciones que trataste en la escuela eran diferenciables (o al menos en casi todas partes), ¿por qué es eso una función? ¿Qué significa que algo sea una función?

Bueno. Estas son cuestiones que los matemáticos trataron hace mucho tiempo, y decidieron que debíamos ceñirnos a las definiciones. Así que en matemáticas tenemos definiciones explícitas, y les damos nombres para no tener que repetir la definición cada vez. La frase "Que $H$ sea un espacio de Hilbert sobre $\Bbb C$ " encierra en esas ocho palabras una inmensa cantidad de conocimientos, que suele llevar mucho tiempo aprender, por ejemplo.

A veces, por conveniencia, y por puro amor a las generalizaciones, los matemáticos toman una palabra que tiene un "significado común", y deciden que es lo suficientemente buena como para usarla en un contexto diferente y significar otra cosa. Germen, tallo, filtro, gavilla, carcaj, grafo, son todas palabras que toman una pista del sentido natural de la palabra, y le dan una definición explícita en contexto .

(Y ni siquiera he hablado de cosas que tienen poca o ninguna relación con su significado en el mundo real, por ejemplo, un ratón en la teoría de conjuntos).

La multiplicación es una palabra que usamos en contexto, y el contexto suele ser una operación binaria asociativa sobre algún conjunto. Este conjunto puede ser de funciones, matrices, conjuntos, etc. Si exigimos que la operación tenga un elemento neutro y admita inversiones, tenemos un grupo; si adjuntamos otro operador que también sea asociativo, admita inversiones y sea conmutativo y planteemos algunas leyes de distributividad, obtenemos un anillo; o un semianillo; o así sucesivamente.

Pero es conveniente hablar de la multiplicación, porque es una palabra, y en la mayoría de los casos el desarrollo pedagógico nos ayuda a comprender por qué en las generalizaciones podríamos querer omitir la conmutatividad de esta operación.

Answer 3

La terminología de las estructuras matemáticas suele basarse en la terminología de las estructuras matemáticas "normales", como los enteros, los números racionales y los números reales, y se analogía con ella. En el caso de los vectores sobre números reales, ya tenemos definida la suma para las coordenadas. La aplicación de esta operación y la adición de los componentes a lo largo de los términos da lugar a una operación significativa, y la terminología natural es referirse a ella simplemente como "adición". La multiplicación término a término da lugar a una operación que no tiene tanto sentido (por un lado, esta operación, a diferencia de la suma término a término, depende del sistema de coordenadas). El producto cruzado, por otro lado, es una operación con sentido, e interactúa con la suma termal de manera similar a como la multiplicación real interactúa con la suma real. Por ejemplo, $(a+b)\times c = a \times c + b \times c$ (propiedad distributiva).

En el caso de las matrices, la suma de términos vuelve a ser una operación significativa. Las matrices representan operadores lineales, y la definición de linealidad incluye muchas de las propiedades de la multiplicación, como la distribución: A(u+v) = A(u) + A(v). Así, es natural tratar la aplicación de un operador lineal como "multiplicar" un vector por una matriz, y a partir de ahí es natural definir la multiplicación de matrices como composición de los operadores lineales: (A*B)(v) = (A(B(v)).

Answer 4

El concepto matemático que hay debajo de la pregunta es el de operación .

En un entorno muy general, si X es un conjunto, una operación sobre X es simplemente una función

$$X\times X\to X$$

Por lo general, denotado con anotaciones multiplicativas como $\cdot$ o $*$ . Esto significa que una operación toma dos elementos de X y da como resultado un elemento de $X$ (exactamente como cuando se toman dos números, digamos $3$ hormiga $5$ y el resultado es $5*3=15$ )

Ejemplos de oparaciones son las operaciones habituales sobre números reales: más, menos, división (definida sobre reales distintos de cero), multiplicaciones, exponenciación.

Ahora bien, para utilizar las operaciones en matemáticas se requieren normalmente propiedades que sean útiles en los cálculos. Aquí las propiedades más comunes que puede tener una operación.

$1)$ La asociatividad. Esto significa que $(a*b)*c=a*(b*c)$ y permiten omitir los paréntesis y escribir $a*b*c$ . Las sumas y multiplicaciones habituales en los números reales son asociativas. La resta, la división y la exponenciación no lo son. Por ejemplo: $$(5-2)-2=3-2=1\neq 5=5-(2-2)$$ $$ (9/3)/3=3/3=1\neq 9=9/1=9/(3/3)$$ $$ 2^{(3^2)}=2^9=512\neq 64= 8^2=(2^3)^2$$ Un ejemplo famoso de multiplicación no asociativa utilizado a menudo en matemáticas es el de Octoniones de Cayley . Un ejemplo útil de operaciones asociativas es la composición de funciones. Sea $A$ sea un conjunto cualquiera y $X$ sea el conjunto de todas las funciones de $A$ a $A$ es decir $X=\{f:A\to A\}$ . La composición de dos funciones $f,g$ es la función $f*g$ definido por $f*g(a)=f(g(a))$ . Claramente $f*(g*h)(a)=f(g(h(a)))=(f*g)*h(a)$ .

$2)$ Conmutatividad. Esto significa que $a*b=b*a$ . Las sumas y multiplicaciones habituales son conmutativas. El producto de matrices no es conmutativo, la composición de funciones no es conmutativa en general (una rotación compuesta con una traslación no es lo mismo que una traslación primero, y luego la rotación), el producto de vectores no es conmutativo. La no conmutatividad de la composición de funciones se basa en Principio de incertidumbre de Heisemberg . El Cuaterniones de Hamilton son una estructura útil utilizada en matemáticas. Tienen una multiplicación que es asociativa pero no conmutativa.

$3)$ Existencia del elemento neutro. Esto significa que hay un elemento e en $X$ para que $x*e=e*x=x$ para cualquier $x$ de $X$ . Para la suma, el elemento netural es $0$ para la multiplicación es $1$ . Si considera que $X$ como el conjunto de incluso números enteros, que la multiplicación habitual está bien definida en $X$ pero el elemento neutro no existe en $X$ (sería $1$ que no está en $X$ ).

$4)$ Existencia de la inversa. En caso de que haya un elemento neutro $e\in X$ Esto significa que para cualquier $x\in X$ existe $y$ para que $xy=yx=e$ . Por lo general, $y$ se denota por $x^{-1}$ . La inversa de la suma habitual es $-x$ la inversa para la multiplicación habitual es $1/x$ (que sólo existe para elementos no nulos). En el ámbito de las matrices, hay muchas matrices que no tienen inversa, por ejemplo la matriz $\begin{pmatrix} 1 & 1\\1&1\end{pmatrix}$ .

Estas propiedades son importantes porque hacen que una operación fácil de usar . Por ejemplo: ¿es cierto que si $a,b\neq 0$ entonces $a*b\neq0$ ? Esto parece algo obvio, pero depende de las propiedades de la operación. Por ejemplo $\begin{pmatrix} 1 & 0\\3&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0\\1&2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0\\0&0\end{pmatrix}$ pero ambos $\begin{pmatrix} 1 & 0\\3&0\end{pmatrix}$ y $\begin{pmatrix} 0 & 0\\1&2\end{pmatrix}$ son diferentes de cero.

Concluyendo, diría que cuando un matemático escucha la palabra multiplicación , piensa inmediatamente en una operación asociativa, normalmente (pero no siempre) con elemento neutro, a veces conmutativa.

Answer 5

ab es a por b o b por a

Esto es un teorema no es definición Muchas gracias. Por supuesto la prueba más fácil es la geométrica: lo primero es un rectángulo a x b, y lo giras y obtienes un rectángulo b x a. Demostrarlo a partir de axiomas es un poco más complicado porque tienes que responder a la pregunta de si la multiplicación es no conmutativa como un axioma, entonces, ¿a partir de qué lo demostramos? La respuesta es alguna combinación de la inducción matemática, que es la idea de que si algo funciona para todos los números "y así sucesivamente" entonces funciona para todos los números, pero sólo se aplica en los enteros porque otros sistemas numéricos no tienen realmente un "y así sucesivamente".

Así que una vez que se habla de la multiplicación fuera de los enteros se pierden todas estas buenas garantías de que la multiplicación es conmutativa. En mi opinión, eso es todo. La multiplicación tiene sentido en muchos lugares, y muchos de esos lugares no tienen razones de peso para que sea conmutativa.