¿Es el dominio de convergencia de una secuencia de funciones mensurables medibles? (objetivos generales)

Question

Deje $(X,\Sigma)$ ser un espacio medible, y deje $Y$ ser un espacio topológico. Deje $f_n:X \to Y$ ser mensurable de la secuencia, cuando tomamos $Y$ el Borel sigma álgebra. En otras palabras, el $f_n$ son medibles como las asignaciones entre los espacios medibles $$ (X,\Sigma) \to (Y,B(Y)).$$

Es $E= \{ x\in X : f_n(x) \text{ is convergent in } Y \}$ medibles?

Esto es bien conocido (y fácil) en el caso de los verdaderos valores de las funciones. De hecho,

$$ E=\bigcap_{k\in\mathbb{N}}\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\bigcap_{r,s >n}\left\{ x\in X:\left|f_{r}\left(x\right)-f_{s}\left(x\right)\right|<\frac{1}{k}\right\}. $$

Yo creo que esta prueba podría ser adaptado para el caso de que $Y$ es un espacio métrico completo; basta con sustituir $$ \left|f_{r}\left(x\right)-f_{s}\left(x\right)\right|$$con $$ d\left(f_{r}(x),f_{s}(x)\right) .$$

¿Esta presionado para no completar métrica espacios como los objetivos? ¿Qué pasa cuando se $Y$ no es un espacio métrico?

Answer 1

Esta es una muy instructiva pregunta: al parecer, la integridad es la clave!

En primer lugar, vamos a $X=Y=[0,1]$ con la topología usual. Definimos un ejemplo de una secuencia de funciones de $f_n: X\rightarrow Y$, que converge en todas partes de punto de sabio. Luego nos arruinar $Y$.

Deje $f_1$ ser constante $0$ a $[0,1/2[$ y constante $1/2$ a $[1/2,1]$. Deje $f_2$ ser constante $0$ a $[0,1/4[$, constante $1/4$ a $[1/4,1/2[$, constante $1/2$ a $[1/2,3/4[$, y la constante de $3/4$ a $[3/4,1]$. En general, se dividen $[0,1]$ a $2^n$ intervalos de igual longitud (cerrado por la izquierda y abierto por la derecha, excepto el último que se cierra), y deje $f_n$ ser el paso de la función cuyo valor en cada intervalo es el extremo izquierdo. Es claro que esta secuencia de funciones converge punto de sabio a la identidad de la función en $[0,1]$.

Mantenemos estas funciones, pero modifique $Y$ ahora. Elija cualquiera de los que no se pueden medir conjunto $S\subseteq [0,1]$, y deje $D$ consiste de los números racionales en $[0,1]$ cuyo denominador es una potencia de $2$. Deje $Y$ ser el subespacio topológico de $[0,1]$ inducida por $S\cup D$. Esto es por supuesto un espacio métrico (como lo es un subespacio de un espacio métrico), pero no es más completa!

Definir la misma secuencia de funciones como las anteriores; aún son medibles (y también de las funciones de $X\rightarrow Y$, debido a que hemos sido lo suficientemente cuidadoso para poner todos los elementos de a$D$ en $Y$). Sin embargo, el dominio de convergencia es $Y= S\cup D$: una secuencia en la $Y$ es convergente si y sólo si es convergente como una secuencia en $[0,1]$ con límite de en $Y$. Como $S$ no es mensurable y $D$ es contable, tenemos que $Y$ no es medible (como un subconjunto de a$X$).