¿Por qué isn ' t calcula la ubicación del GPS de la métrica de Schwarzschild?

Question

El GPS utiliza el espacio plano de propagación de la luz fórmula para calcular la distancia de la fuente (el satélite) al receptor (el observador en la Tierra): $$ d=c \cdot \Delta t$$ donde $c$ es la velocidad de la luz en Minkowski vacío, $\Delta t$ es la diferencia entre los tiempos de emisión y absorción de la señal (corregido por relativista tiempo dilataciones) y $d$ es la distancia Euclidiana. Esta fórmula se alimenta con los datos de vigas de 4 satélites para resolver la ubicación del receptor.

Mis preguntas son: ¿cuál es la justificación para el uso de esta fórmula? No debería la distancia se calcula en la geometría curva de ajuste, por ejemplo, el uso de la métrica de Schwarzschild? ¿Cuáles son los errores en el uso de la distancia Euclídea versión $ d=c \cdot \Delta t$?

N. B.: La diferencia de tiempo $\Delta t$ contiene correcciones relativistas a veces. Sin embargo, no está claro para mí por qué es correcto usar el espacio plano (Minkowski) fórmula de propagación de la luz con sólo el valor de $\Delta t$ modificado para dar cuenta de la gravedad.

Por favor, trate de ser lo más claro posible y de apoyo a sus estados de cuenta con los cálculos/derivaciones.

ADDENDUM: me pareció muy buena papeles de discutir en profundidad todos los relativista detalles y efectos de GPS (como) la navegación en el espacio-tiempo. Son Thomas B. Bahder la Navegación en Curva el Espacio-Tiempo, la Sincronización de Reloj y de la Navegación en las Inmediaciones de la Tierra y de la Relatividad de GPS de Medición.

Answer 1

El general-relativista correcciones son demasiado pequeñas para la materia.

El Schwarzchild métrica tiene adimensional correcciones de orden de $GM/rc^2$. Aquí $G$ es la constante gravitacional de Newton, $M$de la masa de la Tierra, $r$ la distancia desde el centro de la Tierra, y $c$ la velocidad de la luz.

En la superficie de la Tierra, estas métricas son las correcciones de una parte en mil millones; más arriba, cerca de los satélites, que son aún más pequeños. Los símbolos de Christoffel la determinación de la señal geodésica ruta tendrá correcciones de la misma magnitud.

La señal tarda alrededor de 0,1 s para viajar a la Tierra desde el satélite, por lo que el GR de corrección en $\Delta t$ sería del orden de $10^{-10} s$ y el GR de corrección en $d$ sería de aproximadamente 3 cm. Esto está por debajo de la precisión del sistema GPS.

En el caso de que el satélite GPS está directamente encima es fácil de resolver analíticamente. Comience con la métrica de Schwartzschild

$$ds^2=-(1-2M/r)dt^2+(1-2M/r)^{-1}dr^2 +r^2 d\theta^2+r^2 \sin^2{\theta}\;d\phi^2$$

geométrica de las unidades donde $G$ e $c$ 1.

La señal sigue un null geodésico donde $ds=0$. Radial null geodésica satisface

$$(1-2M/r)\;dt^2=(1-2M/r)^{-1}\;dr^2$$

que es una ecuación diferencial a partir de la cual podemos obtener $t(r)$ como

$$t=r_0-r+2M\log\frac{r_0-2M}{r-2M}.$$

Las condiciones iniciales son que a $t=0$ la señal comienza a $r=r_0$, el radio orbital de la sobrecarga de satélite GPS. Hemos tomado el entrante solución; como $t$ aumenta, $r$ disminuye y en algún momento $t=t_E$ llega al receptor GPS en la superficie de la Tierra en $r=R_E$.

Para el cálculo de $t_E$ en segundos, restaurar $G$ e $c$ conseguir

$$ct_E=r_0-r_E+R_s\log\frac{r_0-R_s}{r_E-R_s}$$

donde $R_s=2GM/c^2$ es el radio de Schwarzschild de la Tierra, que es de 9,0 mm.

Poner en la radio, en la que el GPS de los satélites de órbita, $r_0=20,000$ km, y el radio de la Tierra $r_E=6400$ km, nos encontramos con $t_E=0.045333333368$ s. Cuando ignoramos el GR correcciones por tomar $R_s$ a 0 en lugar de 9 mm, obtenemos $t_E=0.045333333333$ s. Así, el GR correcciones lenta la señal de 34 picosegundos, y provocar que el cálculo de la distancia del satélite a ser apagado por 1.0 cm. Una buena aproximación analítica es

$$\Delta d=R_s \log\frac{r_0}{r_E}.$$

Corrección: El OP señaló que a los 20.000 km es la altitud de los satélites GPS, no su radio orbital. Su radio orbital es, pues, acerca de 26,400 km. Rehacer los números, puedo obtener un $\Delta t$ 43 picosegundos y un $\Delta d$ de 1.3 cm.

Answer 2

Tengo algunos comentarios generales acerca de los principios; yo no he visto hasta números específicos, pero estos serán en las siguientes fuentes.

En primer lugar, ver a Neil Ashby (acceso abierto), que Vive Comentarios en la Relatividad artículo "la Relatividad en el Sistema de Posicionamiento Global". Ashby es el nombre más importante en este campo.

En segundo lugar, mientras que las "soluciones exactas" como Schwarzschild son extremadamente importantes, tales hermosa soluciones matemáticas no siempre son los más prácticos. Para el Sistema Solar en general, no se describe el uso de Schwarzschild, etc, pero en lugar de "post-Newtoniana de la teoría", que es una especie de aproximación a mitad de camino entre Newton y Einstein. Esta es la oficial de la Unión Astronómica Internacional recomendación: ver Soffel et al (2003). Para la Tierra, el campo gravitacional es mejor modelar como una expansión en armónicos esféricos. Por ejemplo, para un futuro Chino satélite para la detección de ondas gravitacionales, se llevará a cabo de esta manera. Ver el libro de texto por Poisson Y Voluntad.

Finalmente, uno podría pensar que debido a que la Tierra está girando, la métrica de Kerr podría ser una buena aproximación para decir $r>6500km$. Sin embargo, el exterior de un cuerpo rotatorio ¿ no coincidir con la métrica de Kerr en de esta manera. Véase también Hartle del libro de texto, capítulo 14, titulado "Un poco de rotación", por intermedio de la aproximación entre Schwarzschild y Kerr.