¿Es la función entera un polinomio?

Question

Sea $f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ sea una función entera, y supongamos que para cada $z\in \mathbb{C}$ existe $n_z\in \mathbb{N}$ tal que $f^{(n_z)}(z)=0$ .

Es $f$ ¿es necesariamente un polinomio?

Answer 1

Supongamos que $f^{(n)}$ no desaparece para todos $n\in\mathbb{N}$ . Entonces $\mathbb{C}=\bigcup_{n=1}^\infty (f^{(n)})^{-1}(0)$ . Pero los ceros de $f^{(n)}$ son aislados, por lo tanto contables. Por lo tanto, el lado derecho es una unión contable de conjuntos contables, que sigue siendo contable, mientras que $\mathbb{C}$ es incontable, contradicción.

Answer 2

Si toda una función $f$ satisface dicha propiedad, entonces $\mathbb{C}$ puede cubrirse mediante la unión contable de conjuntos cerrados. Para ver esto, para cada número natural $n$ definir $B_n:=\{z\in \mathbb{C}:f^{(n)}(z)=0\}$ . Por la hipótesis, $B_n$ no está vacío. $f$ ser entero implica que cada $f^{(n)}$ es continua, por lo que se puede ver fácilmente que cada $B_n$ es un subconjunto cerrado de $\mathbb{C}$ . Ahora note que por construcción, $\mathbb{C}=\cup B_n$ . Entonces, por el Teorema de la Categoría Baire, existe un $n$ tal que $B_n$ tiene un interior no vacío. Esto significa que $f^{(n)}$ desaparece en un conjunto que tiene puntos límite. Entonces $f^{(n)}$ siendo también entero, por los Principios de Ceros Aislados, desaparece en todo $\mathbb{C}$ . Así que ahora podemos ver que $f$ es un polinomio de grado máximo $n$ .