Un gran $n$ asintótica de $\int_0^\infty \left( 1 + x/n\right)^{n-1} \exp(-x) \, \mathrm{d} x$

Question

Mientras que el pensamiento de 71432, me encontré con el siguiente integral: $$ \mathcal{I}_n = \int_0^\infty \left( 1 + \frac{x}{n}\right)^{n-1} \mathrm{e}^{-x} \, \mathrm{d} x $$ Eric respuesta a la pregunta vinculada implica que $\mathcal{I}_n \sim \sqrt{\frac{\pi n}{2}} + O(1)$.

¿Cómo se podía llegar a este asintótica de la representación integral, sin reducir el problema a la suma ([agregado] es decir, expandiendo $(1+x/n)^{n-1}$ en la serie y la integración de plazo-sabio, reduciendo el problema a la suma de resolver por Eric) ?

Gracias por la lectura.

Answer 1

Con el cambio de las variables de $x\to(n-1)t-1$, obtenemos $$ \begin{align} &\int_0^\infty\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n-1}e^{-x}\;\mathrm{d}x\\ &=ne\left(1-\frac{1}{n}\right)^n\int_\frac{1}{n-1}^\infty e^{-(n-1)(t-\log(1+t))}\;\mathrm{d}t\tag{1}\\ \end{align} $$ Desde $$ 1+n\log\left(1-\frac{1}{n}\right)=-\frac{1}{2n}-\frac{1}{3n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right) $$ exponentiating y multiplicando por $n$, obtenemos $$ \begin{align} ne\left(1-\frac{1}{n}\right)^n &=ne^{-\frac{1}{2n}-\frac{1}{3n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)}\\ &=n-\frac{1}{2}-\frac{5}{24n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)\tag{2} \end{align} $$ Tenga en cuenta que $$ \begin{align} \int_0^\frac{1}{n-1} e^{-(n-1)(t-\log(1+t))}\;\mathrm{d}t &=\int_0^\frac{1}{n-1}\left(1-\tfrac{n-1}{2}t^2+\tfrac{n-1}{3}t^3+\tfrac{(n-1)^2}{8}t^4\right)\;\mathrm{d}t+O\left(\tfrac{1}{n^4}\right)\\ &=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{6(n-1)^2}+\frac{13}{120(n-1)^3}+O\left(\frac{1}{n^4}\right)\\ &=\frac{1}{n}+\frac{5}{6n^2}+\frac{31}{40n^3}+O\left(\frac{1}{n^4}\right)\tag{3} \end{align} $$ Por último, el establecimiento $\frac{u^2}{2}=t-\log(1+t)$, por lo que el $t=u+\frac{u^2}{3}+\frac{u^3}{36}-\frac{u^4}{270}+\frac{u^5}{4320}+\frac{u^6}{17010}+O(u^7)$, obtenemos $$ \begin{align} &\int_0^\infty e^{-(n-1)(t-\log(1+t))}\;\mathrm{d}t\\ &=\int_0^\infty e^{-(n-1)u^2/2}\;\mathrm{d}t\\ &=\int_0^\infty e^{-(n-1)u^2/2}\;(1+\frac{2u}{3}+\frac{u^2}{12}-\frac{2u^3}{135}+\frac{u^4}{864}+\frac{u^5}{2835}+O(u^6))\;\mathrm{d}u\\ &=\sqrt{\tfrac{\pi}{2(n-1)}}+\tfrac{2}{3(n-1)}+\sqrt{\tfrac{\pi}{288(n-1)^3}}-\tfrac{4}{135(n-1)^2}+\sqrt{\tfrac{\pi}{165888(n-1)^5}}+\tfrac{8}{2835(n-1)^3}+O\left(\tfrac{1}{n^{7/2}}\right)\\ &=\sqrt{\tfrac{\pi}{2n}}\left(1+\tfrac{7}{12n}+\tfrac{145}{288n^2}\right)+\left(\tfrac{2}{3n}+\tfrac{86}{135n^2}+\tfrac{346}{567n^3}\right)+O\left(\tfrac{1}{n^{7/2}}\right)\tag{4} \end{align} $$ La combinación de $(3)$$(4)$, obtenemos $$ \int_\frac{1}{n-1}^\infty e^{-(n-1)(t-\log(1+t))}\;\mathrm{d}t=\sqrt{\tfrac{\pi}{2n}}\left(1+\tfrac{7}{12n}+\tfrac{145}{288n^2}\right)-\left(\tfrac{1}{3n}+\tfrac{53}{270n^2}+\tfrac{3737}{22680n^3}\right)+O\left(\tfrac{1}{n^{7/2}}\right) $$ Incluyendo $(2)$, los rendimientos de los $$ \int_0^\infty\left(1+\frac{x}{n}\right)^{n-1}e^{-x}\;\mathrm{d}x=\sqrt{\tfrac{n\pi}{2}}\left(1+\tfrac{1}{12n}+\tfrac{1}{288n^2}\right)-\left(\tfrac{1}{3}+\tfrac{4}{135n}-\tfrac{8}{2835n^2}\right)+O\left(\tfrac{1}{n^{5/2}}\right) $$

Answer 2

Una relacionada con el resultado fue dada en los problemas de la columna de la American Mathematical Monthly no hace mucho tiempo. Este es el problema 11353 cuya solución se publicó en el enero de 2010.

Deje $$g(s)=\int_0^\infty \left(1+{x\over s}\right)^se^{-x}\, dx-\sqrt{s\pi\over 2}.$$ Mostrar que $g(s)$ disminuye de $1$ $2/3$ $s$rangos de$0$$\infty$.

Tenga en cuenta que el exponente en la integral es $s$, no $s-1$.

Answer 3

Interesante. Tengo una representación $$ \mathcal{I}_n = n e^n \int_1^\infty t^{n-1} e^ {nt}\, dt $$ el cual puede ser obtenido a partir de la suya por el cambio de las variables de $t=1+\frac xn$. Después de algunos chanchullos uno puede conseguir $$ 2\mathcal{I}_n= n e^n \int_0^\infty t^{n-1} e^ {nt}\, dt+o(\mathcal{I}_n)= n^{-n} e^n \Gamma(n+1)+\ldots=\sqrt{2\pi n}+\ldots. $$

Answer 4

Me cambió la función de una unidad, ya que no afectará a la asymptotics y me gustaría que el máximo global de producirse a $x=0$.

$$ \mathcal{I}_n \sim \int^{\infty}_0 \left( 1 + \frac{x-1}{n} \right)^{n-1} e^{-(x-1) } dx $$

$$\left( 1 + \frac{ x-1}{n} \right)^{n-1} e^{-(x-1) } = e \left( 1 - \frac{1}{n} \right)^{n-1} \left( 1 - \frac{x^2}{2(n-1)} + \cdots \right)$$

$$ \approx e \left(1 - \frac{1}{n} \right)^{n-1} \exp\left(\frac{-x^2}{2(n-1)} \right) $$

por lo $$ \mathcal{I}_n \sim e\left( 1 -\frac{1}{n}\right)^{n-1} \int^{\infty}_0 \exp\left( \frac{-x^2}{2(n-1)} \right) dx $$

$$ = e\left( 1 -\frac{1}{n}\right)^{n-1} \sqrt{\pi(n-1)/2} \sim \sqrt{\pi n/2}$$