¿Las funciones de% ordinario de las funciones mensurables de$\mathbb{R}^n$ y$\mathbb{C}^n$ forman un espacio de Banach bajo p-norma?

Question

Por medibles de la función, me refiero a una "normalmente" medibles función, que es medible en el sentido de esta definición: una función entre espacios medibles que se dice ser medible si la preimagen de cada medibles conjunto es medible.

Deje $(X,\ \mathcal{F},\ \mu)$ ser una medida de espacio y deje $V$ ser $\mathbb{R}^n$ o $\mathbb{C}^n$ con una norma estándar $\|v\|=(\sum_{k=1}^n|v_k|^2)^\frac{1}{2}$$v=(v_1,\ ...,\ v_n)$$V$.

Hacer las funciones medibles (donde $V$ está equipada con un $\sigma$-álgebra de Borel conjuntos de cualquiera de las $\mathbb{R}^n$ o $\mathbb{C}^n$) forman un espacio vectorial?

Deje $1\leq p \leq \infty$. Para una función medible $f: X\to V$ definimos

$$\|f\|_p=(\int\limits_X \|f\|^p\mathrm{d}\mu)^\frac{1}{p}.$$

Hacer las funciones medibles $f$ tal que $\|f\|_p<\infty$, después de identificar a aquellos que son iguales en casi todas partes, forman un espacio de Banach en virtud de norma $\|\cdot\|_p$?

Yo pregunto, porque sé que esto no es cierto en el caso de funciones con valores en infinitas dimensiones de los espacios de Banach. Hay una noción de Bochner medibles función es introducido.

Answer 1

En el caso de finito dimensionales de los espacios, la cuantificación puede ser reducido a la "ordinaria" noción de la cuantificación de la siguiente manera:

Una función de $f : X \to \Bbb{R}^n$ es medible si y sólo si para cada una de las $i \in \{1, \dots, n\}$, el componente de la función $f_i : X \to \Bbb{R}$ es medible.

Esto puede ser visto de la siguiente manera: Mensurabilidad es preservada por funciones continuas (debido a que estos son Borel medible y composiciones de funciones medibles medibles). Por lo tanto, si $f$ es medible, entonces cada una de las $f_i = \pi_i \circ f$ también es medible, porque $\pi_i : \Bbb{R}^n \to \Bbb{R}, x \mapsto x_i$ es continua.

Por otro lado, cada uno de los mapas de $\iota_i : \Bbb{R} \to \Bbb{R}^n, x \mapsto (0, \dots, 0, x, 0,\dots,0)$ es continua (donde el $x$-la entrada es en el $i$-ésima componente). Por lo tanto, si cada una de las $f_i$ es medible, entonces

$$ f = \sum_{i=1}^n \iota_i \circ f_i $$

también es medible.

Los mismos argumentos siguen siendo válidos en el caso de $\Bbb{C}^n$. En ese caso, uno puede incluso reducir aún más a la mensurabilidad de $\mathrm{Re}(f_i)$ $\mathrm{Im}(f_i)$ por cada $i$.

Con respecto a la integridad, uno puede ver fácilmente la norma de equivalencia

$$ \Vert f \Vert_p \asymp \sum_{i=1}^n \Vert f_i \Vert_p, $$

que permite reducir la integridad de la $1$-ajuste dimensional.

Con respecto a la Bochner mensurabilidad, uno puede mostrar (cf. Serge Lang, Real y Análisis Funcional) que $f : X \to E$ (con un espacio de Banach $E$) $\mu$ - Bochner medible si y sólo si

1. Hay un $\mu$-null-establecer $N \subset X$ tal que $f(X\setminus N)$ es divisible y por lo que $f|_{X \setminus N}$ (Borel) medible en el sentido descrito por usted.
2. $f$ se desvanece fuera de un conjunto de $\sigma$-finito medida.

Aquí, una función de $f$ se llama $\mu$-Bochner-medible, si hay una secuencia de funciones simples $f_n = \sum_{i=1}^{m_n} \alpha_i^{(n)} \chi_{M_i^{(n)}}$ con cada una de las $M_i^{(n)}$ finito de medida y con $f_n(x) \to f(x)$ $\mu$- casi todos los $x$.

Esto demuestra que mientras $E$ es separable (este es el caso, en particular si $E$ es finito dimensionales) y $\mu$ $\sigma$- finito (y completa), no hay ninguna diferencia entre la medición y Bochner mensurabilidad. Problemas ocurrir tan pronto como el espacio de destino $E$ es no separable.