¿Qué significa "desaparecer idénticamente"?

Question

Esto es de Stein Análisis Complejo:

Supongamos que $f$ es holomorphic en la conexión de un conjunto abierto $\Omega$, tiene un cero en un punto de $z_0 \in \Omega$, y no se desvanecen identicallly en $\Omega$. Entonces, existe un entorno $U\in\Omega$$z_0$, un no-desaparición de holomorphic función de $g$$U$, y un único entero positivo $n$ tal que $$f(z) = (z - z_0)^n g(z) \text{ for all } z\in U$$

Pensé que $f$ se desvanece de forma idéntica en $\Omega$ significa que $f(z) = 0$ todos los $z\in \Omega$? Pero, a continuación, en la prueba, escribió

Desde $\Omega$ está conectado y $f$ no es idénticamente cero, llegamos a la conclusión de que $f$ no es idéntica a cero en un barrio de $z_0$.

Por qué? ¿Por qué no $f$ ser idéntica a cero en un barrio de $z_0$? Esto no contradice el hecho de que $f$ no es idénticamente cero en $\Omega$.

Answer 1

Esto se debe al Principio de ceros aislados de funciones analíticas: todos los ceros de una función analítica (no idénticamente cero) en un conjunto abierto conectado$U$ de$\mathbf C$ están aislados, es decir, para cada cero$a\in U$ existe un vecindario abierto$V\subset U$ de$a$ en el que$a$ es el único cero de$f$.

Answer 2

Si$f\equiv 0$ en una vecindad completa de$z_0,$ entonces$f\equiv 0$ en$\Omega$ del principio de identidad, una contradicción.