Visualización de la álgebra de mentira de SO(3)

Question

Deje $SO(3)$ ser la Mentira del grupo de rotaciones 3D. Rotación sobre el eje z por un ángulo de $\phi$ está representado en el estándar de la base por esta matriz:

$$\begin{pmatrix} \cos \phi & -\sin\phi & 0 \\ \sin \phi & \cos \phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

La diferenciación de esta matriz en $\phi = 0$ obtenemos un generador infinitesimal de rotación sobre el eje z: $$Z = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

De manera similar obtenemos las matrices de $X$ $Y$ correspondiente a las rotaciones alrededor de x y el eje-y. Estas matrices son elementos de $\mathfrak{so}(3)$, la Mentira álgebra de $SO(3)$ horquillado y nos da:

$$[X, Y] = -Z, [Y, Z] = -X, [Z, X] = -Y$$

No soy muy bueno en la visualización de las cosas, pero estoy curioso es que hay una buena explicación visual para esto?

Answer 1

$[X,Y]$ se refiere a la tasa de cambio de $Y$ $X$. Por lo tanto es igual a $Z$. Parece que es el producto cruzado, como ahora dice @Will. Si desea una explicación más del sofisticado de toda la cosa, tendré que empezar y tomar algún tiempo.